"Геометрия, Динамика, Вселенная" - читать интересную книгу автора (И. Л. Розенталь)

геометрии - точкой - являются линейные элементы. Подробнее
об этом см. разд. 10, гл. 2.
------------------------------------------------------------

Из этого вывода следует естественный вопрос: как самая
точная наука - математика (точнее, одна из ее областей -
геометрия) может базироваться на системе не вполне
определенных понятий? Более того, при взаимной замене ее
основных определений большинство выводов сохраняют свою
силу.

Ответ на поставленный вопрос несложен, пока он
относится к чистой математике (а речь идет именно об этом
направлении).

Высшим критерием математической истины является
логическая замкнутость, непротиворечивость системы аксиом и
следующих из нее теорем. Чеканная логика - основной критерий
истины в математике.

Соответствие данной математической конструкции
эмпирическим наблюдениям или простым интуитивным
представлениям является критерием менее важным, чем
логическая завершенность.

Крупнейший математик Д.Гильберт посвятил значительную.
часть своей жизни совершенствованию аксиоматики геометрии.
Ему принадлежит известное основополагающее определение: "Мы
мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы
называем точками о обозначаем A, B, C...; вещи второй
системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c..."`. Для
нас исключительно важно, что в этом фундаментальном
определении (так же как и во всей цитируемой книге
Гильберта) автор и не пытается представить наглядный образ
точки или линии. Он постулирует и уточняет лишь отношение
между этими объектами. Из этих отношений и следует
определенная геометрическая конструкция.

------------------------------------------------------------
` Гильберт Д. Основания геометрии. м.; Л.: Гостехиздат,
1948. С.57.
------------------------------------------------------------

Приведенная цитата лаконично подытоживает (в
определенном смысле) исследования центральных понятий
геометрии. Основные ее понятия - идеализированные объекты,
не обязательно связанные с конкретной реальностью или
интуитивными представлениями. "Точкой" может быть
идеализированный объект, лишенный протяженности во всех
измерениях или в части измерений (линия или плоскость).