"Геометрия, Динамика, Вселенная" - читать интересную книгу автора (И. Л. Розенталь)

неевклидовы геометрии (некоторые из них рассматриваются
далее в разд. 6 и 7 этой главы). В подобной эволюции
существенную роль сыграло внедрение в геометрию
аналитических методов. По существу, геометрия слилась с
алгеброй (точнее, с математическим анализом), оставив в
своем арсенале лишь одну (хотя и важную) привилегию -
определенную форму мышления, в которой большую роль играют
образность и наглядность.


3. ИДЕАЛИЗАЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ

Ранее мы упоминали о некоторой неопределенности в
основных понятиях геометрии: точка, линия и т.д.
Превосходной иллюстрацией такой неопределенности является
геометрический принцип двойственности. Суть этого принципа
заключается в том, что если поменять местами наглядные
образы точки и прямой, то в аксиомах и теоремах геометрии
почти ничего не изменится.

Покажем некоторые простейшие примеры проявления
принципа двойственности, для чего вначале приведем
стандартные положения геометрии, а затем попросим читателя
сделать усилие и в соответствующих фигурах совершить
взаимную замену точек и прямых.

1. <<Через одну точку можно провести бесконечное число
прямых. Любая прямая содержит бесконечное число точек.>>
Второе положение эквивалентно первому в следующем смысле:
нужно слово "провести" заменить на "содержит". Такая замена
имеет лишь семантический характер.

2. <<Через точку пересечения двух прямых a и b можно
провести бесконечное число прямых, расположенных между
прямыми a и b.>> Ясно, что и это положение сохраняет свою
силу при взаимной замене точек и прямых.

3. <<Треугольник -- это фигура, образованная тремя
прямыми, проходящими через три точки, не лежащие на одной
прямой.>> Легко проверить, что при взаимной замене точек и
прямых получается привычный треугольник.

Число иллюстраций принципа двойственности можно
существенно увеличить, он пронизывает всю геометрию. Отсюда
можно сделать вывод: интуитивные понятия "точки" и "прямой"
в значительной степени условны.`

------------------------------------------------------------
` Важно отметить, что в последнее время в физике микромира
развиваются представления о том, что основным элементом