"Урожай и посевы" - читать интересную книгу автора (Гротендик А. )

которую ему можно приписать, так сказать, "на глазок" - именно, структурой,
называемой "категорией". (Читателю, не знакомому с термином в техническом
смысле, не о чем беспокоиться. Это совсем не понадобится в дальнейшем.) Это
нечто вроде
"сверхструктуры измерения" по имени "категория пучков" (над
рассматриваемым пространством), которая впредь будет считаться как бы
"воплощающей" то, что наиболее существенно для пространства. Это законно (с
точки зрения "математического здравого смысла"), поскольку оказывается
возможным "воссоздать" полностью исходное топологическое пространство{47} в
терминах "категории пучков" (или арсенала измерительных приборов), ему
соответствующей. (Проверить это - простое упражнение; конечно, когда вопрос
уже поставлен...) Ничего больше не нужно для уверенности в том, что (если
это почему-либо для нас заманчиво) мы отныне можем "забыть" об исходном
пространстве, чтобы держать в уме и использовать только соответствующую
"категорию" (или "арсенал"), которая будет рассматриваться как наиболее
адекватное олицетворение топологической (или "пространственной") структуры,
о выражении которой идет речь.
Как это часто бывает в математике, нам удалось (благодаря решающему
влиянию идеи о пучке, или "когомологическом метре") выразить некоторое
понятие ("пространства", в данном случае) в терминах другого ("категории").
Всякий раз открытие такого перевода понятия (отражающего определенное
положение вещей) на язык другого понятия (соответствующего ситуациям иного
типа) обогащает наше представление о каждом из них путем неожиданного
слияния особенностей интуитивного восприятия, характерных для одного и
другого. Так, ситуация по природе "топологическая" (воплощенная в данном
пространстве) оказывается здесь представленной ситуацией по природе
"алгебраической" (воплощенной в "категории"); или, если угодно,
"непрерывное", воплощенное в образе пространства, предстает "переданным",
или "выраженным" структурой категории, по природе "алгебраической"
(воспринимавшейся до сих пор как существенно "разрывная", или "дискретная").
Более того, первое из этих понятий - пространства - казалось нам в
каком-то смысле понятием (по содержательности) "максимальным" - настолько
уже обобщенным, что едва ли можно себе представить его расширение, которое
оставалось бы в рамках "разумного". Напротив, другая сторона зеркала{48},
эти "категории" (или "арсе-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
налы"), с которыми сталкиваются, сойдя с крыльца топологических
пространств, имеют весьма частную природу. Они располагают в
действительности набором свойств в высшей степени типических{49}, что делает
их как бы "имитациями" самой простой из них, какую только можно вообразить -
той, которую получают, исходя из пространства, сведенного к одной точке. То
есть "пространство в новом стиле" (или топос), обобщающее традиционные
топологические пространства, будет описываться попросту как "категория",
которая, не вытекая с необходимостью из обыкновенного пространства, тем не
менее обладает всеми хорошими свойствами (единожды четко для всех
определенными, разумеется) этой "категории пучков".


* * *