"Урожай и посевы" - читать интересную книгу автора (Гротендик А. ) Вот это и есть новая идея. Ее возникновение можно рассматривать как
результат наблюдения, сказать по правде, почти детской простоты, что то, что на самом деле важно в топологическом пространстве - это отнюдь не его "точки" и не его "подмножества"{50} с отношениями близости между ними, но пучки над этим пространством и категория, которую они образуют. В том, чего я добился, я лишь довел до логического конца исходную идею Лерэ - тем самым переступил нечто, решившись сделать шаг. Как сама идея о пучках (принадлежащая Лерэ), или о схемах, как всякая "большая идея" (концепция), которая переворачивает вверх дном закоснелое, устоявшееся мировосприятие, идея топоса ошеломляет своей естественностью, "очевидностью", простотой (на грани, я бы сказал, наивности и простоты даже "глуповатой") - тем особенным свойством, которое так часто вынуждает нас восклицать: "О, это невозможно!" - полуразочарованно, полузавистливо, еще, пожалуй, с оттенком, который можно передать словами "сумасбродно", "несерьезно", припасенными у всех, кто в ужасе шарахается, неожиданно столкнувшись с чем-то категорию, рассматриваемую как что-то вроде "двойника" пространства, "другой стороны зеркала"... простым до неприличия. С тем, что нам напоминает, быть может, дни нашего младенчества, спрятанные глубоко в памяти, ибо мы давно от них отреклись... 14. Понятие схемы представляет собой значительное расширение понятия алгебраического многообразия, и за счет этого полностью обновляет алгебраическую геометрию, завещанную моими предшественниками. Понятие топоса - расширение или, лучше сказать, метаморфоза понятия пространства. пределами, геометрии. Уже сейчас, впрочем, оно успело сыграть решающую роль для расцвета новой геометрии (главным образом через посредство вышедших из него тем /-адических и кристальных когомологии, позволивших доказать гипотезы Вейля). Идея топоса, как и ее старшая сестра (почти близнец), имеет две дополняющие друг друга черты, существенные для полного и плодотворного обновления; вот они. Во-первых, новое понятие не чересчур широко, в том смысле, что на новые "пространства" (лучше называть их топосами, чтобы не задеть чуткого уха){51} самые важные интуитивные представления и геометрические конструкции{52}, знакомые по старым добрым пространствам прежних времен, переносятся более или менее очевидным образом. Иначе говоря, для новых объектов имеется в распоряжении вся богатая гамма мысленных образов и ассоциаций, понятий и определенных технических средств, какие прежде не выходили за границы области объектов старинного толка. Во-вторых, новое понятие в то же время достаточно широко, чтобы охватить все множество ситуаций, в которых, как раньше считалось, не место интуитивным представлениям "тополого-геометрической" приро- Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать ды - именно, тем, какие тогда связывались только с обыкновенными топологическими пространствами (и не без основания...). С позиции гипотез Вейля решающим здесь является то обстоятельство, что новое понятие в действительности достаточно широко для того, чтобы позволить нам связать с любой "схемой" такое "обобщенное пространство", или "топос" (называемое "этальным топосом" рассматриваемой схемы). С самого начала было |
|
|