"Урожай и посевы" - читать интересную книгу автора (Гротендик А. )решать по-своему. Тот дрянной архитектор, у кого в голове сложены готовыми
все планы раньше, чем он удосужится исследовать свой участок земли, его нужды и возможности. Годны ли в дело изобретательность и фантазия искателя, определяется степенью напряженности его внимания, с каким он прислушивается к голосам вещей. Ибо вещи во Вселенной неустанно толкуют о себе, открываясь тому, кто озаботится выслушать. И дом тем краше, чем ясней в нем любовь его создателя; дело не в том, насколько он высок и широк. Красивый дом - вернейшее отражение структуры и красоты, скрытых в сердце вещей. 10. Но вот я опять сбился: я ведь предполагал рассказать о главных темах, собравшихся в одно материнское видение - как реки, дочери моря, возвращаясь, все текут к нему... Это широкое объединяющее видение может быть описано как новая геометрия. Именно о ней, думается, грезил еще Кронекер в прошлом столетии{35}. Но действительность (дерзкая мечта может иногда пред- чувствовать ее или предвидеть, побуждая нас к открытию) неизменно превосходит, богатством красок, густотой и силой звучания, мечту самую смелую и самую глубокую. Заведомо в этой новой геометрии есть не один такой раздел (если не все сразу), о каком накануне его создания никто не мог и помыслить, менее всего сам работник. Можно сказать, что "число" способно уловить структуру "разрывных", или "дискретных" систем - часто конечных, состоящих из "элементов", или "объектов", "изолированных" друг от друга, без какого бы то ни было правила "непрерывного перехода" от одного к другому. "Размер", напротив, есть свойство, поддающееся в полном смысле этого слова "непрерывному изменению". Он тем самым способен уловить структуру непрерывных явлений: перемещений, арифметика выступает (грубо говоря) как наука о дискретных структурах, а анализ - как наука о непрерывных структурах. Что касается геометрии, можно утверждать, что в течение более чем двух тысяч лет ее существования как науки (в современном понимании этого слова) она охватывает оба вида структур: как "дискретные", так и "непрерывные"{36}. Долгое время, впрочем, не было настоя щего "разлада" между двумя геометриями разной природы: одной дискретной, другой непрерывной. Скорее, сосуществовали две различные точки зрения на исследование самих геометрических фигур: одна делала упор на "дискретных" (в частности, численных и комбинаторных) свойствах, другая - на "непрерывных" (таких, как положение в окружающем пространстве, или "размер", измеренный в терминах расстояний между точками фигуры, и т.п.). Разлад возник в конце прошлого столетия, с появлением и развитием того, что иногда называют "абстрактной (алгебраической) геометрией". В общих чертах она состояла в введении для каждого простого числа р геометрии (алгебраической) "в характеристике р", скопированной с непрерывной модели геометрии (алгебраической), унаследованной от предыдущих столетий, но все же в контексте, который выступал непримиримо "разрывным", "дискретным". Эти новые геометрические объекты приобрели все возрастающее значение в начале века, и особенно ввиду тесной их связи с арифметикой, наукой в полном смысле этого слова дискретной структуры. Похоже, одна из ведущих идей труда Андрэ Вей-ля{37}, даже может быть, главная движущая сила (которая, как водится, осталась более или менее невысказанной в его записанных работах), состоит в том, что "собственно" геометрия (алгебраическая), и в особенности |
|
|