"Урожай и посевы" - читать интересную книгу автора (Гротендик А. )

решать по-своему. Тот дрянной архитектор, у кого в голове сложены готовыми
все планы раньше, чем он удосужится исследовать свой участок земли, его
нужды и возможности. Годны ли в дело изобретательность и фантазия искателя,
определяется степенью напряженности его внимания, с каким он прислушивается
к голосам вещей. Ибо вещи во Вселенной неустанно толкуют о себе, открываясь
тому, кто озаботится выслушать. И дом тем краше, чем ясней в нем любовь его
создателя; дело не в том, насколько он высок и широк. Красивый дом -
вернейшее отражение структуры и красоты, скрытых в сердце вещей.
10. Но вот я опять сбился: я ведь предполагал рассказать о главных
темах, собравшихся в одно материнское видение - как реки, дочери моря,
возвращаясь, все текут к нему...
Это широкое объединяющее видение может быть описано как новая
геометрия. Именно о ней, думается, грезил еще Кронекер в прошлом
столетии{35}. Но действительность (дерзкая мечта может иногда пред-
чувствовать ее или предвидеть, побуждая нас к открытию) неизменно
превосходит, богатством красок, густотой и силой звучания, мечту самую
смелую и самую глубокую. Заведомо в этой новой геометрии есть не один такой
раздел (если не все сразу), о каком накануне его создания никто не мог и
помыслить, менее всего сам работник.
Можно сказать, что "число" способно уловить структуру "разрывных", или
"дискретных" систем - часто конечных, состоящих из "элементов", или
"объектов", "изолированных" друг от друга, без какого бы то ни было правила
"непрерывного перехода" от одного к другому. "Размер", напротив, есть
свойство, поддающееся в полном смысле этого слова "непрерывному изменению".
Он тем самым способен уловить структуру непрерывных явлений: перемещений,
пространств, "многообразий" всех родов, силовых полей и т.п. Итак,
арифметика выступает (грубо говоря) как наука о дискретных структурах, а
анализ - как наука о непрерывных структурах.
Что касается геометрии, можно утверждать, что в течение более чем двух
тысяч лет ее существования как науки (в современном понимании этого слова)
она охватывает оба вида структур: как "дискретные", так и "непрерывные"{36}.
Долгое время, впрочем, не было настоя щего "разлада" между двумя геометриями
разной природы: одной дискретной, другой непрерывной.
Скорее, сосуществовали две различные точки зрения на исследование самих
геометрических фигур: одна делала упор на "дискретных" (в частности,
численных и комбинаторных) свойствах, другая - на "непрерывных" (таких, как
положение в окружающем пространстве, или "размер", измеренный в терминах
расстояний между точками фигуры, и т.п.).
Разлад возник в конце прошлого столетия, с появлением и развитием того,
что иногда называют "абстрактной (алгебраической) геометрией". В общих
чертах она состояла в введении для каждого простого числа р геометрии
(алгебраической) "в характеристике р", скопированной с непрерывной модели
геометрии (алгебраической), унаследованной от предыдущих столетий, но все же
в контексте, который выступал непримиримо "разрывным", "дискретным". Эти
новые геометрические объекты приобрели все возрастающее значение в начале
века, и особенно ввиду тесной их связи с арифметикой, наукой в полном смысле
этого слова дискретной структуры. Похоже, одна из ведущих идей труда Андрэ
Вей-ля{37}, даже может быть, главная движущая сила (которая, как водится,
осталась более или менее невысказанной в его записанных работах), состоит в
том, что "собственно" геометрия (алгебраическая), и в особенности