"Александр Архипович Ивин. Логика. Элементарный курс " - читать интересную книгу автора

резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории
множеств обнаруженные в ней парадоксы.
Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их
объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и
сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и
способах избавления от них нет.
"За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели
разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с
затраченными усилиями", - пишет А.Френкель. "Похоже на то, - заключает свой
анализ парадоксов Х.Карри, - что требуется полная реформа логики, и
математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой
реформы".
Устранение и объяснение парадоксов
Следует обратить внимание на одно важное различие.
Устранение парадоксов и их разрешение - это вовсе не одно и то же.
Устранить парадокс из некоторой теории - значит перестроить ее так, чтобы
парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс
опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в
теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря,
можно подвергнуть сомнению любое ее звено, отбросить его и тем самым
разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и
этим ограничиваются.
Но это еще не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его
исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в
каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.
Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств,
используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с
нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства
и другими логическими интуициями. Если этого нет, устранение парадокса
оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается в
техническую по преимуществу задачу.
Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает
устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует
автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за
парадоксами не следует "охотиться" поодиночке. Исключение одного из них
всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная
гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.
Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, "мы должны
подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то
посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации,
которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от
антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых".
И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или
слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и
не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только
частный интерес.
Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер,
позволяющих избежать известных парадоксов?
Логическая грамматика
Один путь - это выделение наряду с истинными и ложными предложениями