"В.И.Арнольд. Антинаучная революция и математика [V]" - читать интересную книгу автора

МАТЕМАТИКА И ПЕРЕДЕЛ МИРА

Рассмотрим первую цифру числа, выражающего площадь страны. Эта
цифра может быть единицей, двойкой..., девяткой. Оказывается,
распределение государств мира по первой цифре их площади крайне
неравномерно. Страны, первая цифра площади которых равна единице,
составляют примерно 30% общего их числа, а количество стран,
первая цифра площади которых равна девяти, примерно в 6 раз
меньше; доля стран, имеющих промежуточную между единицей и
девяткой первую цифру площади, постепенно уменьшается. Данное
распределение не зависит от единиц площади: ее можно измерять в
квадратных километрах, в квадратных милях или в квадратных дюймах
- результат получается таким же.

Hеравномерное распределение первых цифр наблюдается и во многих
других случаях. Hапример, первые цифры численности населения стран
мира демонстрируют такую же закономерность. Она была открыта в
1881 г. С. Hьюкомом и в соответствии с принципом эпонимики названа
эмпирическим законом Ф. Бенфорда. Вклад математики в объяснение
этих довольно таинственных эмпирических закономерностей состоит в
разработке идей эргодической теории динамических систем.

В последовательности первых цифр степеней двойки:

1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4..,

единицы составляют примерно 30%, плотность девяток - в 6 раз
меньше. Эти математические факты строго доказываются в
эргодической теории динамических систем.

Рассмотрим поворот окружности на угол, несоизмеримый с 2(pi ).
Повторяя этот поворот, мы получим из исходной точки
последовательность точек окружности, называемую орбитой исходной
точки под действием динамической системы, заданной поворотом
окружности. Эта последовательность точек равномерно распределена
вдоль окружности: движущаяся точка проводит в каждой области
время, пропорциональное мере этой области (согласно теореме Г.
Вейля, предшественнице эргодической теоремы Дж. Биркгофа).

Приложение теоремы о равномерном распределении к повороту на угол
2( pi )log2, несоизмеримый с 2( pi ), доставляет странное
распределение первых цифр чисел 2n . Действительно, первая цифра
числа зависит только от положения дробной доли его (десятичного)
логарифма на окружности дробных частей. Длина дуги (0,log 2),
соответствующей первой цифре, равной единице, составляет около 30%
длины (1) всей этой окружности.

Заметим, что дробные доли чисел, составляющих геометрическую