"В.И.Арнольд. Антинаучная революция и математика [V]" - читать интересную книгу автора

прогрессию (вроде 2 n ), образуют орбиту соответствующей
динамической системы (поворота окружности на соответствующий
угол). Эта орбита равномерно распределена вдоль окружности,
исключая лишь случай поворота на угол, соизмеримый с 2(pi) (что
соответствует геометрической прогрессии, знаменатель которой равен
рациональному кратному 10). Поэтому мы получаем одно и то же
таинственное неравномерное распределение первых цифр для любой
типичной геометрической прогрессии.

Этот математический результат объясняет распределение первых цифр
численности населения стран мира. В соответствии с законом
Мальтуса численность населения одной и той же страны в разные годы
образует геометрическую прогрессию. Следовательно, первые цифры
этих численностей подчиняются таинственному неравномерному закону
распределения, так что примерно 30% из них- единицы.

Согласно эргодическому принципу, статистику временной эволюции
численности населения одной страны можно заменить пространственным
средним - средним по всем странам, рассматриваемым в один и тот же
момент времени. Следовательно, распределение первых цифр
численности населения стран мира должно быть таким же, как
распределение первых цифр степеней двойки.

Чтобы получить распределение площадей, надо фиксировать какую-либо
модель передела мира. В простейшей модели каждая страна с
вероятностью 50% делится (за некоторую единицу времени) на две
страны равной площади и с вероятностью 50% объединяется с другой
страной такой же площади. Для этой сверхупрощенной модели можно
строго доказать, что через несколько единиц времени
устанавливается все то же таинственное распределение первых цифр
чисел, выражающих площади.

Предположительно такая же теорема справедлива для широкого класса
модифицированных моделей. Hапример, можно заменить 50% другой
вероятностью распада страны, можно сделать части неравными, можно
даже учесть географическое положение стран (допуская объединение
лишь с соседями). Компьютерные эксперименты с модифицированными
моделями были выполнены в 1997 г. М.В. Хесиной в Торонто и Ф.
Аикарди в Триесте. После небольшого числа итераций наблюдалось
таинственное распределение первых цифр чисел, выражающих площади
стран. Однако соответствующие предельные теоремы пока не доказаны.