"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом
подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неиз- вестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл) и, быть может, мы их никогда и не узнаем. Во всяком случае сделанное заме- чание могло бы побудить философов в будущем быть более благоразумными при решении этого вопроса. Перед тем как началось революционное развитие современ- ной физики, было потрачено немало труда из-за желания во что бы то ни стало заста- вить математику рождаться из экспериментальных истин; но, с одной стороны, кванто- вая физика показала, что эта "макроскопическая" интуиция действительности скрыва- ет "микроскопические" явления совсем другой природы, причем для их изучения тре- буются такие разделы математики, которые, наверное, не были изобретены с целью приложений к экспериментальным наукам, а с другой стороны, аксиоматический метод показал, что "истины", из которых хотели сделать средоточие математики, являются лишь весьма частным аспектом общих концепций, которые отнюдь не ограничивают свое применение этим частным случаем. В конце концов, это интимное взаимопроник- новение, гармонической необходимостью которого мы только что восхищались, пред- ставляется не более чем случайным контактом наук, связи между которыми являются гораздо более скрытыми, чем это казалось а priori. В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абст- рактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неиз- вестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм. Конеч- но, нельзя отрицать, что большинство этих форм имело при своем возникновении вполне определенное интуитивное содержание; но как раз сознательно лишая их этого содержания, им сумели придать всю их действенность, которая и составляет их силу, и свою роль в обработке данных. Только имея в виду этот смысл слова "форма", можно говорить о том, что аксиома- тический метод является "формализмом". Единство, которое он доставляет математи- ке, это - не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный жизни. Это - питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодо- творный инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все великие мыслители-математики, все те, кто, следуя формуле Лежена Дирихле, всегда стремились "идеи заменить вычислениями" ** [ - см. прим. ред. сканирования - С. Катречко]. Примечания: 1 La Mathematique ou les Mathematiques? (т. е. одна математика или несколько математик?). 2 Каждый математик, впрочем, знает, что доказательство не является "понятным" в подлин- ном смысле этого слова, если ограничиться лишь проверкой правильности выводов, которые его составляют, и не пытаться понять отчетливо идеи, которые привели к созданию этой це- почки выводов предпочтительно перед всякой другой. 3 Этот выбор не является единственно возможным, и известны различные системы аксиом, "эквивалентных" рассматриваемой, причем аксиомы каждой системы являются логическими следствиями аксиом любой другой системы. |
|
|