"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

4 Заметим, что остатки от деления на р чисел 1, x, x2,... хn, ... не могут быть все различными.
Приравняв два из них друг другу, легко показать, что степень xk-l (k > l) от х имеет остаток,
равный 1. Если х? является остатком от деления xk-l-1 на р, то произведение хх?по модулю р
равно 1.

5 Разумеется, этот смысл слова "аксиома" не имеет ничего общего с общепринятым смыслом
выражения "очевидная истина".

6 Мы становимся здесь на "наивную" точку зрения и не касаемся щекотливых вопросов, по-
луфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой "природы" математич-
ских "объектов". Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших пред-
ставлениях этих "объектов", мыслимых сначала как идеализированные "абстракции" чувст-
венного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматиче-
ских исследований XIX-XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последователь-
ного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором
этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как "первоначаль-
ное" и "неопределимое", было объектом многочисленных споров, вызванных характером его
исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которые оно у нас
вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все
метафизические псевдопроблемы относительно математических "объектов") в результате
недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единствен-
ными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры.
Читатель найдет более подробное развитие этой точки зрения в следующих двух статьях:
Dieudonne J., Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathematiques, Revue
Scientifique, 78 (1939), 224-232; Сагlаn Н., Sur lе fondement logique des mathematiques, Revue
Scientifique, 81 (1943), 3-11.

7 В действительности это определение структуры не является настолько общим, насколько
этого требуют нужды математики. Нужно также охватить и тот случай, когда отношения, опре-
деляющие структуру, имеют место не между элементами рассматриваемого множества, а
между подмножествами этого множества, и даже, в более общем случае, между элементами
множеств еще более высокой "степени" - в так называемой "лестнице типов". Дальнейшие
детали читатель найдет в наших Elements de Mathematique, книга 1 (сводка результатов), Ac-
tual. Scient. еt Industr., № 846.

8 В случае групп надо было бы, если соблюдать полную строгость, считать аксиомой, кроме а,
b, с, и утверждение о том, что соотношение z = х?у определяет одно и только одно z, когда
даны x, у. Обычно считают, что это свойство молчаливо подразумевается самой записью этого
отношения.

9 См., например, наши Elements книга III, введение к главе 1, Actual. Scient. еt Industr., № 858.
(Русский перевод: Бурбаки Н. Топологические структуры, М., 1959.)

10 Система Тейлора - капиталистическая система организации труда, предложенная амери-
канским инженером Ф.У. Тейлором для получения максимальной прибыли. Одним из элемен-
тов этой системы является изучение трудовых процессов путем их разложения на составные
элементы.

11 Мы были свидетелями также, особенно в то время, когда аксиоматический метод только что