"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)рой нельзя обойтись при построении какой-либо общей теории, как, например, тополо-
гии или теории интегрирования. Идеализированным - потому что далеко не во всех разделах математики неко- торая определенная часть каждой из основных структур распознана и вмещена в четко очерченные границы. В некоторых теориях (например, в теории чисел) существуют многочисленные изолированные результаты, которые до сего времени не умеют ни классифицировать, ни связать удовлетворительным образом с известными структурами. Наконец - застывшим, так как нет ничего более чуждого аксиоматическому ме- тоду, чем статическая концепция науки, и мы не хотели оставить у читателя впечатле- ние, будто бы мы претендовали дать очерк ее окончательного состояния. Структуры не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности вполне возможно, что даль- нейшее развитие математики приведет к увеличению числа фундаментальных струк- тур; открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, мож- но заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали уже известные структуры. С другой стороны, последние ни в коем случае не являются чем-то законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была уже исчерпана. Введя эти неизбежные поправки, можно лучше понять внутреннюю жизнь матема- тики, понять то, что создает ее единство и вносит в нее разнообразие, понять этот большой город, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически пере- страивается, следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие, все более удобные. Возвращение к прошлому и заключение Концепция, которую мы только что пытались изложить, возникла не сразу, а лишь в результате более чем полувековой эволюции и была встречена не без сопротивления как со стороны философов, так и со стороны математиков. Многие из этих последних долго не могли согласиться рассматривать аксиоматику как что-либо большее, чем ненужные тонкости логиков, неспособные оплодотворить какую-либо теорию. Эта кри- тика объясняется, без сомнения, исторической случайностью: аксиоматизации, кото- рые появились первыми и которые имели наибольший отклик (аксиоматизации ариф- метики Дедекинда и Пеано, евклидовой геометрии Гильберта), касались унивалентных теорий, т.е. таких, которые полностью определялись совокупностью своих аксиом, причем система этих аксиом не могла быть применена к какой-либо другой теории, кроме той, из которой она была извлечена (в противоположность тому, что мы видели, например, в теории групп). Если бы это имело место для всех структур, то упрек в бесплодности, выдвинутый по адресу аксиоматического метода, был бы полностью оправдан11. Но этот метод доказал свою мощь своим развитием, и отвращение к нему, которое еще встречается там и сям, можно объяснить лишь тем, что разум по естест- венной причине затрудняется допустить мысль, что в конкретной задаче может ока- заться плодотворной форма интуиции, отличная от той, которая непосредственно под- сказывается данными (и которая возникает в связи с абстракцией более высокого по- рядка и более трудной. Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где мы не решаемся всерьез выступать из-за отсутствия компетентности; основная про- блема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математическо- го12. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами |
|
|