"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

рой нельзя обойтись при построении какой-либо общей теории, как, например, тополо-
гии или теории интегрирования.
Идеализированным - потому что далеко не во всех разделах математики неко-
торая определенная часть каждой из основных структур распознана и вмещена в четко
очерченные границы. В некоторых теориях (например, в теории чисел) существуют
многочисленные изолированные результаты, которые до сего времени не умеют ни
классифицировать, ни связать удовлетворительным образом с известными структурами.
Наконец - застывшим, так как нет ничего более чуждого аксиоматическому ме-
тоду, чем статическая концепция науки, и мы не хотели оставить у читателя впечатле-
ние, будто бы мы претендовали дать очерк ее окончательного состояния. Структуры не
остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности вполне возможно, что даль-
нейшее развитие математики приведет к увеличению числа фундаментальных струк-
тур; открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, мож-
но заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали
уже известные структуры. С другой стороны, последние ни в коем случае не являются
чем-то законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была
уже исчерпана.
Введя эти неизбежные поправки, можно лучше понять внутреннюю жизнь матема-
тики, понять то, что создает ее единство и вносит в нее разнообразие, понять этот
большой город, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим
образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически пере-
страивается, следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все
более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их
лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более
прямые, все более широкие, все более удобные.

Возвращение к прошлому и заключение
Концепция, которую мы только что пытались изложить, возникла не сразу, а лишь в
результате более чем полувековой эволюции и была встречена не без сопротивления
как со стороны философов, так и со стороны математиков. Многие из этих последних
долго не могли согласиться рассматривать аксиоматику как что-либо большее, чем
ненужные тонкости логиков, неспособные оплодотворить какую-либо теорию. Эта кри-
тика объясняется, без сомнения, исторической случайностью: аксиоматизации, кото-
рые появились первыми и которые имели наибольший отклик (аксиоматизации ариф-
метики Дедекинда и Пеано, евклидовой геометрии Гильберта), касались унивалентных
теорий, т.е. таких, которые полностью определялись совокупностью своих аксиом,
причем система этих аксиом не могла быть применена к какой-либо другой теории,
кроме той, из которой она была извлечена (в противоположность тому, что мы видели,
например, в теории групп). Если бы это имело место для всех структур, то упрек в
бесплодности, выдвинутый по адресу аксиоматического метода, был бы полностью
оправдан11. Но этот метод доказал свою мощь своим развитием, и отвращение к нему,
которое еще встречается там и сям, можно объяснить лишь тем, что разум по естест-
венной причине затрудняется допустить мысль, что в конкретной задаче может ока-
заться плодотворной форма интуиции, отличная от той, которая непосредственно под-
сказывается данными (и которая возникает в связи с абстракцией более высокого по-
рядка и более трудной.
Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где
мы не решаемся всерьез выступать из-за отсутствия компетентности; основная про-
блема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математическо-
го12. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами