"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

сложному, от общего к частному.
В центре находятся основные типы структур, из которых мы только что перечисли-
ли главнейшие, так сказать, порождающие структуры (les structures-meres). В каж-
дом из этих типов господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо раз-
личать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом акси-
ом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнитель-
ными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия. Именно таким
образом теория групп, помимо тех общих положений, которые справедливы для всех
групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теорию
конечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы
конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем х?у = у?х, каковы бы ни были х,у), а
также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе
вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те,
в которых (как при упорядоченности в множестве целых или в множестве действитель-
ных чисел) любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядо-
ченными (totalement ordonnee); среди этих последних особо изучают множества, назы-
ваемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чи-
сел, каждое подмножество имеет "наименьший элемент") .Подобная же градация
существует и для топологических структур.
За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно
было бы назвать сложными (multiples) и в которые входят одновременно одна или
несколько порождающих структур, но не просто совмещенные друг с другом (что не
дало бы ничего нового), а органически скомбинированные при помощи одной или не-
скольких связывающих их аксиом. Именно такой характер носит топологическая ал-
гебра, изучающая структуры, определяемые одним или несколькими законами компо-
зиций и одной топологией, которые связаны тем условием, что алгебраические опера-
ции являются непрерывными функциями (для рассматриваемой топологии) элементов,
над которыми они производятся. Не менее важной является алгебраическая тополо-
гия, которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определенные
топологическими свойствами (симплексы, циклы и т. д.), как элементы, над которыми
производятся алгебраические операции. Соединение структуры порядка и алгебраиче-
ской структуры точно так же изобилует результатами, приводя, с одной стороны, к
теории делимости идеалов, а с другой стороны - к теории интегрирования и к "спек-
тральной теории" операторов, где точно так же топология играет свою роль.
Наконец, далее начинаются собственно частные теории, в которых элементы рас-
сматриваемых множеств, которые до сего момента в общих структурах были совер-
шенно неопределенными, получают более определенную индивидуальность. Именно
таким образом получают теории классической математики: анализ функций действи-
тельной и комплексной переменной, дифференциальную геометрию, алгебраическую
геометрию, теорию чисел. Но они теряют свою былую автономность и являются теперь
перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные матема-
тические структуры, имеющие более общий характер.
Чтобы сохранить правильную перспективу, необходимо после этого беглого обзора
сейчас же добавить, что он должен рассматриваться как весьма грубое приближение к
истинному положению дел в математике. Он является одновременно схематическим,
идеализированным и застывшим.
Схематическим - так как в деталях не все идет так гладко и планомерно, как
это может представиться после того, что мы рассказали. Между прочим, имеются не-
ожиданные возвращения назад, когда теория, носящая ярко выраженный частный
характер, как, например, теория действительных чисел, оказывает помощь, без кото-