"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)сложному, от общего к частному.
В центре находятся основные типы структур, из которых мы только что перечисли- ли главнейшие, так сказать, порождающие структуры (les structures-meres). В каж- дом из этих типов господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо раз- личать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом акси- ом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнитель- ными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия. Именно таким образом теория групп, помимо тех общих положений, которые справедливы для всех групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теорию конечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем х?у = у?х, каковы бы ни были х,у), а также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те, в которых (как при упорядоченности в множестве целых или в множестве действитель- ных чисел) любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядо- ченными (totalement ordonnee); среди этих последних особо изучают множества, назы- ваемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чи- сел, каждое подмножество имеет "наименьший элемент") .Подобная же градация существует и для топологических структур. За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно было бы назвать сложными (multiples) и в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещенные друг с другом (что не дало бы ничего нового), а органически скомбинированные при помощи одной или не- скольких связывающих их аксиом. Именно такой характер носит топологическая ал- гебра, изучающая структуры, определяемые одним или несколькими законами компо- ции являются непрерывными функциями (для рассматриваемой топологии) элементов, над которыми они производятся. Не менее важной является алгебраическая тополо- гия, которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определенные топологическими свойствами (симплексы, циклы и т. д.), как элементы, над которыми производятся алгебраические операции. Соединение структуры порядка и алгебраиче- ской структуры точно так же изобилует результатами, приводя, с одной стороны, к теории делимости идеалов, а с другой стороны - к теории интегрирования и к "спек- тральной теории" операторов, где точно так же топология играет свою роль. Наконец, далее начинаются собственно частные теории, в которых элементы рас- сматриваемых множеств, которые до сего момента в общих структурах были совер- шенно неопределенными, получают более определенную индивидуальность. Именно таким образом получают теории классической математики: анализ функций действи- тельной и комплексной переменной, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию, теорию чисел. Но они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные матема- тические структуры, имеющие более общий характер. Чтобы сохранить правильную перспективу, необходимо после этого беглого обзора сейчас же добавить, что он должен рассматриваться как весьма грубое приближение к истинному положению дел в математике. Он является одновременно схематическим, идеализированным и застывшим. Схематическим - так как в деталях не все идет так гладко и планомерно, как это может представиться после того, что мы рассказали. Между прочим, имеются не- ожиданные возвращения назад, когда теория, носящая ярко выраженный частный характер, как, например, теория действительных чисел, оказывает помощь, без кото- |
|
|