"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне
стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой про- блемы. Таким образом, можно было бы сказать, что аксиоматический метод является не чем иным, как "системой Тейлора" в математике10. Но это сравнение - недостаточное. Математик не работает подобно машине; мы должны особенно подчеркнуть, что в рассуждениях математика основную роль играет особая интуиция [интуиция, которая, впрочем, часто ошибается (как и всякая интуиция)], отличная от обыденной чувственной интуиции и заключающаяся скорее в непосредст- венном угадывании (предшествующем всякому рассуждению) нормального положения вещей, которое, как кажется, он вправе ожидать от математических объектов, ставших в результате его частого оперирования с ними столь же для него привычными, как и объекты реального мира. Но ведь каждая структура сохраняет в своем языке интуитив- ные отзвуки той специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ, описанный нами выше. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направ- ляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение. Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществленный в начале XIX в. благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зре- ния, это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной тополо- гической структуры - структуры евклидовой плоскости - со всеми следующими отсю- да возможностями приложений, - открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ. Такие примеры умножились за последние 50 лет: пространство Гильберта и более общие функциональные пространства, вводящие топологические структуры в множе- зеля, посредством которых - еще более удивительное обстоятельство! - топология воцарилась в той области, которая до этих пор считалась царством дискретного, раз- рывного по преимуществу - в множестве целых чисел; мера Хаара, безгранично рас- ширившая область применения понятия интеграла и способствовавшая весьма глубо- кому анализу свойств непрерывных групп, - таковы решающие моменты в прогрессе математики, т. е. повороты, когда свет гения определял новое направление теории, обнаруживая в ней структуру, которая, как казалось а priori, не играла там никакой роли. Это говорит о том, что в настоящее время математика менее чем когда-либо сво- дится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в ее распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом унифицированные ак- сиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесфор- менный хаос. Обзор в целом Руководствуясь концепцией аксиоматики, попытаемся представить теперь матема- тический мир в целом. Конечно, мы более не распознаем здесь традиционный порядок, который, подобно первым классификациям видов животных, ограничивался тем, что расставлял рядом друг с другом теории, представляющие наибольшее внешнее сход- ство. Вместо точно разграниченных разделов алгебры, анализа, теории чисел и гео- метрии мы увидим, например, теорию простых чисел по соседству с теорией алгебраи- ческих кривых или евклидову геометрию рядом с интегральными уравнениями, и упо- рядочивающим принципом будет концепция иерархии структур, идущей от простого к |
|
|