"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне
стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой про-
блемы. Таким образом, можно было бы сказать, что аксиоматический метод является
не чем иным, как "системой Тейлора" в математике10.
Но это сравнение - недостаточное. Математик не работает подобно машине; мы
должны особенно подчеркнуть, что в рассуждениях математика основную роль играет
особая интуиция [интуиция, которая, впрочем, часто ошибается (как и всякая интуиция)],
отличная от обыденной чувственной интуиции и заключающаяся скорее в непосредст-
венном угадывании (предшествующем всякому рассуждению) нормального положения
вещей, которое, как кажется, он вправе ожидать от математических объектов, ставших
в результате его частого оперирования с ними столь же для него привычными, как и
объекты реального мира. Но ведь каждая структура сохраняет в своем языке интуитив-
ные отзвуки той специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ,
описанный нами выше. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в
изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направ-
ляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого
математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение.
Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществленный в начале
XIX в. благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зре-
ния, это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной тополо-
гической структуры - структуры евклидовой плоскости - со всеми следующими отсю-
да возможностями приложений, - открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и
Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ.
Такие примеры умножились за последние 50 лет: пространство Гильберта и более
общие функциональные пространства, вводящие топологические структуры в множе-
ства, элементами которых являются уже не точки, а функции; р-адические числа Ген-
зеля, посредством которых - еще более удивительное обстоятельство! - топология
воцарилась в той области, которая до этих пор считалась царством дискретного, раз-
рывного по преимуществу - в множестве целых чисел; мера Хаара, безгранично рас-
ширившая область применения понятия интеграла и способствовавшая весьма глубо-
кому анализу свойств непрерывных групп, - таковы решающие моменты в прогрессе
математики, т. е. повороты, когда свет гения определял новое направление теории,
обнаруживая в ней структуру, которая, как казалось а priori, не играла там никакой роли.
Это говорит о том, что в настоящее время математика менее чем когда-либо сво-
дится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо
интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в
ее распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией
наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом унифицированные ак-
сиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесфор-
менный хаос.

Обзор в целом
Руководствуясь концепцией аксиоматики, попытаемся представить теперь матема-
тический мир в целом. Конечно, мы более не распознаем здесь традиционный порядок,
который, подобно первым классификациям видов животных, ограничивался тем, что
расставлял рядом друг с другом теории, представляющие наибольшее внешнее сход-
ство. Вместо точно разграниченных разделов алгебры, анализа, теории чисел и гео-
метрии мы увидим, например, теорию простых чисел по соседству с теорией алгебраи-
ческих кривых или евклидову геометрию рядом с интегральными уравнениями, и упо-
рядочивающим принципом будет концепция иерархии структур, идущей от простого к