"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть по
своей природе весьма разнообразными. То отношение, которое фигурирует в группо-
вых структурах, называют "законом композиции"; это такое отношение между тремя
элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух пер-
вых. Когда отношения в определении структуры являются "законами композиции",
соответствующая структура называется алгебраической структурой (например, струк-
тура поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбран-
ными аксиомами: сложение и умножение действительных чисел определяют структуру
поля на множестве этих чисел).
Другой важный тип представляют собой структуры, определенные отношением по-
рядка; на этот раз это - отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего
мы выражаем словами "х меньше или равно у" и которое мы будем обозначать в об-
щем случае хRу. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно
определяет один из элементов х, у как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчи-
няется, таковы: а) для всех х хRх; b) из соотношений хRу, уRх следует х = у, с) из соот-
ношений хRу, уRz следует хRz. Очевидным примером множества, снабженного такой
структурой, является множество целых чисел (или множество действительных чисел),
причем здесь знак R заменяется на ?. Но надо заметить, что мы не включили в число
аксиом аксиому, отражающую следующее свойство, которое кажется неотделимым от
того понятия порядка, каким мы пользуемся в обыденной жизни: "каковы бы ни были х,
у, имеет место или хRу или уRх". Другими словами, не исключается случай, когда два
элемента могут оказаться несравнимыми. На первый взгляд это может показаться
странным, но легко привести очень важные примеры структур порядка, для которых
имеет место именно это обстоятельство. Именно с таким положением вещей мы стал-
киваемся, когда X, Y означают подмножества некоторого множества, а ХRY означает
"X содержится в Y", или когда х, у являются натуральными числами, а хRу означает "х
делит y", или, наконец, когда f(х) и g(x) являются действительными функциями, опре-
деленными на интервале a ? x ? b, а f(х)Rg(х) означает: "каково бы ни было х, f(х) ?
g(х)". Эти примеры в то же время показывают, сколь велико разнообразие областей,
где появляются структуры порядка, и заранее дают представление о том, насколько
интересно их изучение.
Мы скажем еще несколько слов о третьем важном типе структур - топологиче-
ских структурах (или топологиях), в них находят абстрактную математическую фор-
мулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым
нас приводит наше представление о пространстве.
Для перехода к абстракции, находящей свое выражение в аксиомах такой структуры,
требуются усилия, значительно большие тех, которые имели место в предыдущих
примерах, и размеры настоящей статьи вынуждают нас отослать читателей, желающих
получить более подробные сведения по этому вопросу, к специальной литературе9.

Стандартизация математических орудий
Мы думаем, что нами сказано достаточно для того, чтобы читатель мог создать се-
бе достаточно ясное представление об аксиоматическом методе. Наиболее бросаю-
щейся в глаза его чертой, как это видно из изложенного выше, является реализация
значительной экономии мысли. "Структуры" являются орудиями математика; каждый
раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отноше-
ния, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может вос-
пользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа,
тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства,
необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их