"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)тельный параллелизм; внутри же каждой из этих теорий эти свойства зависят друг от
друга, и анализ логических связей между ними приводит к выделению небольшого числа тех свойств, которые являются независимыми (т. е. таких, что ни одно из них не является логическим следствием остальных). Можно, например3, взять три следующих свойства, которые мы выразим с помощью наших символических обозначений, но которые, конечно, легко перевести на язык каждой из этих теорий: а) каковы бы ни были элементы х, у, z, имеем (х?y)?z == x?(у?z) (ассоциативность операции х?у); b) существует элемент е такой, что для всякого элемента х е?х = х?е = х (для сло- жения действительных чисел - число 0, для умножения по модулю р - число 1, для композиции перемещений - "тождественное перемещение", которое оставляет на своем месте каждую точку пространства); с) для каждого элемента х существует элемент х?, такой, что x?x? = x??x = е (для сложения действительных чисел - противоположное число -х, для композиции пере- мещений - обратное перемещение, т. е. такое, которое каждую точку, перемещенную смещением х, возвращает в исходное положение; для умножения по модулю р сущест- вование х? следует из очень простого арифметического рассуждения4). Тогда мы устанавливаем, что те свойства, которые при помощи общих обозначений возможно выразить одним и тем же образом в каждой из этих трех теорий, являются следствием трех предыдущих. Например, поставим перед собой цель доказать, что из х?у = х?z следует у = z. Можно было бы это сделать в каждой из этих теорий, используя рассуждения, специфические для данной теории. Но можно избрать следующий образ действий, который применим ко всем трем случаям. Из соотношения х?у = х?z мы вы- водим равенство х??(х?у) = х??(х?z) (х? имеет смысл, определенный выше). Далее, при- меняя а, получим (х??х)?у = (х??х)?z. Используя с, запишем это соотношение в виде е?у = ждении мы полностью абстрагировались от природы элементов х, у, z, т. е. нам неза- чем было знать, являются ли они действительными числами, натуральными числами ? р - 1 или перемещениями. Единственная посылка, которой мы пользовались, заклю- чалась в том, что операция x?у над элементами х, у удовлетворяет свойствам а, b, с. Для того чтобы избежать скучных повторений, приходят, таким образом, к мысли, что удобно раз и навсегда вывести логические следствия из этих трех единственных свойств. Необходимо, конечно, для удобства речи принять общую терминологию. Го- ворят, что множество, на котором определена операция х?у, характеризуемая тремя свойствами а, b и с, снабжено структурой группы (или, более коротко, является груп- пой). Условия а, b, с называются аксиомами группы5, и вывести из них их следствия - это значит построить аксиоматическую теорию групп. Теперь можно объяснить, что надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым назва- нием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых6 не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы7 (в случае групп - это отношение х?у = z между тре- мя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или дан- ные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)8. Построить аксиоматическую тео- рию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структу- ры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматривае- мых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их "природы"). Основные типы структур |
|
|