"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

тельный параллелизм; внутри же каждой из этих теорий эти свойства зависят друг от
друга, и анализ логических связей между ними приводит к выделению небольшого
числа тех свойств, которые являются независимыми (т. е. таких, что ни одно из них не
является логическим следствием остальных). Можно, например3, взять три следующих
свойства, которые мы выразим с помощью наших символических обозначений, но
которые, конечно, легко перевести на язык каждой из этих теорий:
а) каковы бы ни были элементы х, у, z, имеем (х?y)?z == x?(у?z) (ассоциативность
операции х?у);
b) существует элемент е такой, что для всякого элемента х е?х = х?е = х (для сло-
жения действительных чисел - число 0, для умножения по модулю р - число 1, для
композиции перемещений - "тождественное перемещение", которое оставляет на
своем месте каждую точку пространства);
с) для каждого элемента х существует элемент х?, такой, что x?x? = x??x = е (для
сложения действительных чисел - противоположное число -х, для композиции пере-
мещений - обратное перемещение, т. е. такое, которое каждую точку, перемещенную
смещением х, возвращает в исходное положение; для умножения по модулю р сущест-
вование х? следует из очень простого арифметического рассуждения4).
Тогда мы устанавливаем, что те свойства, которые при помощи общих обозначений
возможно выразить одним и тем же образом в каждой из этих трех теорий, являются
следствием трех предыдущих. Например, поставим перед собой цель доказать, что из
х?у = х?z следует у = z. Можно было бы это сделать в каждой из этих теорий, используя
рассуждения, специфические для данной теории. Но можно избрать следующий образ
действий, который применим ко всем трем случаям. Из соотношения х?у = х?z мы вы-
водим равенство х??(х?у) = х??(х?z) (х? имеет смысл, определенный выше). Далее, при-
меняя а, получим (х??х)?у = (х??х)?z. Используя с, запишем это соотношение в виде е?у =
е?z, и, наконец, применяя b, получаем у = z, что и требовалось доказать. В этом рассу-
ждении мы полностью абстрагировались от природы элементов х, у, z, т. е. нам неза-
чем было знать, являются ли они действительными числами, натуральными числами ?
р - 1 или перемещениями. Единственная посылка, которой мы пользовались, заклю-
чалась в том, что операция x?у над элементами х, у удовлетворяет свойствам а, b, с.
Для того чтобы избежать скучных повторений, приходят, таким образом, к мысли, что
удобно раз и навсегда вывести логические следствия из этих трех единственных
свойств. Необходимо, конечно, для удобства речи принять общую терминологию. Го-
ворят, что множество, на котором определена операция х?у, характеризуемая тремя
свойствами а, b и с, снабжено структурой группы (или, более коротко, является груп-
пой). Условия а, b, с называются аксиомами группы5, и вывести из них их следствия -
это значит построить аксиоматическую теорию групп.
Теперь можно объяснить, что надо понимать в общем случае под математической
структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым назва-
нием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых6 не
определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в
которых находятся его элементы7 (в случае групп - это отношение х?у = z между тре-
мя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или дан-
ные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые
являются аксиомами рассматриваемой структуры)8. Построить аксиоматическую тео-
рию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структу-
ры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматривае-
мых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их "природы").

Основные типы структур