"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

сделать очень полезное дело, эта работа и составляет действительно одну из сторон
аксиоматического метода, а именно ту, которую следует назвать логическим форма-
лизмом (или, как еще говорят, "логистикой"). Но - и мы настаиваем на этом - это
только одна сторона и при том наименее интересная.
То, что аксиоматика ставит перед собой в качестве основной цели - уразумение
существа математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам
по себе. Точно так же, как экспериментальный метод исходит из априорной уверенно-
сти в постоянстве законов природы, аксиоматический метод берет за точку опоры убе-
ждение в том, что если математика не является нанизыванием силлогизмов в направ-
лении, избранном наугад, то она тем более не является более или менее хитрым ис-
кусством, состоящим из произвольных сближений, в котором господствует одна техни-
ческая ловкость. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько
теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмеша-
тельство гениального математика приводит к обнаружению совершенно "неожиданной
помощи" [Л. Брунсвиг, цит. соч., стр. 446], которую одна из них может оказать другой, там
аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить
общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых
теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию.

Понятие "структуры"
Какую форму приобретает этот метод? Именно здесь аксиоматика больше всего
сближается с экспериментальным методом. Черпая из картезианского источника, она
"разделяет трудности, чтобы лучше их разрешить", В доказательствах какой-либо
теории она стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений;
затем, беря каждое из соответствующих положений изолированно и возводя его в
общий принцип, она выводит из них следствия; наконец, возвращаясь к изученной
теории, она снова комбинирует предварительно выделенные составные элементы и
изучает, как они взаимодействуют между собой. Конечно, нет ничего нового в этом
классическом сочетании анализа и синтеза; вся оригинальность этого метода заключа-
ется в том, как его применяют.
Чтобы проиллюстрировать примером только что описанный метод, мы рассмотрим
наиболее старую (и наиболее простую) аксиоматическую теорию - теорию абстракт-
ных групп. Рассмотрим следующие три операции: 1° сложение действительных чисел,
при котором сумма двух действительных чисел (положительных, отрицательных и
нуля) определена обычным образом; 2° умножение целых чисел по простому модулю
р, причем элементами, которые мы рассматриваем, являются числа 1, 2, 3, ..., р - 1, а
произведением двух таких чисел является, по определению, остаток от деления на р
их произведения в обычном смысле; 3° "композицию" перемещений в евклидовом
трехмерном пространстве, причем результатом этой композиции (или произведением)
двух перемещений Т и S (взятых в данном порядке) мы будем считать, по определе-
нию, перемещение, полученное в результате выполнения сначала перемещения Т, а
затем S. В каждой из этих трех теорий двум элементам х и у, взятым в данном порядке,
рассматриваемого множества (в первом случае множества всех действительных чисел,
во втором - множества чисел 1, 2, 3, ..., р - 1, в третьем - множества всех перемеще-
ний) ставится в соответствие (с помощью особой для каждого множества процедуры)
третий однозначно определенный элемент того же множества, который мы условимся
во всех трех случаях символически обозначать х?у (это будет сумма, если х и у - дей-
ствительные числа; их произведение по модулю р, если они - натуральные числа ? р -
1; результат их композиции, если они являются перемещениями). Если теперь рас-
смотреть свойства этой "операции" в каждой из трех теорий, то обнаружится замеча-