"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)

вратности судьбы, которым подвергалась унитарная концепция математики от пифаго-
рейцев до наших дней. Кроме того, это - работа, к которой более подготовлен фило-
соф, чем математик, так как общей чертой всех попыток объединить в единое целое
математические дисциплины - все равно, идет ли речь о Платоне, о Декарте или
Лейбнице, об арифметизации или логистике XIX в" - является то, что они делались в
связи с какой-либо более или менее претенциозной философской системой, причем
исходным пунктом для них всегда служили априорные воззрения на отношения между
математикой и двойной действительностью внешнего мира и мира мысли. Самое луч-
шее, что мы сумеем сделать, - это отослать читателя по этому вопросу к историче-
скому и критическому исследованию Л. Брунсвига "Этапы математической
философии" [Brunschvig L., Les etapes de la philosophie mathematique, Paris, Alcana, 1912].
Наша задача более скромна и более точно очерчена; мы намереваемся остаться внут-
ри математики и искать ответ на поставленный вопрос, анализируя ее собственное
развитие.

Логический формализм и аксиоматический метод
После более или менее очевидного банкротства различных систем, на которые мы
указывали выше, в начале этого века, казалось, почти полностью отказались от взгля-
да на математику как на науку, характеризуемую единым предметом и единым мето-
дом; скорее наблюдалась тенденция рассматривать ее как "ряд дисциплин, основы-
вающихся на частных, точно определенных понятиях, связанных тысячью нитей"
[Л. Брунсвиг, цит. соч., с.447] которые позволяют методам, присущим одной из дисцип-
лин, оплодотворять одну или несколько других. В настоящее время, напротив, мы ду-
маем, что внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости более чем
когда-либо упрочила единство ее различных частей и создала своего рода централь-
ное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было.
Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, сущест-
вующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направле-
ние, которое обычно называют "аксиоматическим методом".
Иногда говорят также "формализм" или "формалистический метод"; но необходи-
мо с самого начала остерегаться путаницы, которую вызывают эти недостаточно четко
определенные слова и которая и без того часто используется противниками аксиома-
тического метода. Каждому известно, что внешней отличительной чертой математики
является то, что она представляется нам той "длинной цепью рассуждений", о которой
говорил Декарт. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний,
которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, во всем существенном
совпадающей с логикой, известной со времен Аристотеля под названием "формальной
логики", соответствующим образом приспособленной к специфическим потребностям
математики. Таким образом, утверждение, что "дедуктивное рассуждение" является
для математики объединяющим началом, - тривиальная истина. Но столь поверхно-
стное замечание не может, конечно, служить объяснением единства различных мате-
матических теорий, точно так же, как нельзя, например, объединить в единой науке
физику и биологию под предлогом, что и та, и другая используют экспериментальный
метод. Способ рассуждения, заключающийся в построении цепочки силлогизмов, яв-
ляется только трансформирующим механизмом, который можно применять независи-
мо от того, каковы посылки, к которым он применяется, и который, следовательно, не
может характеризовать природу этих последних. Другими словами, это лишь внешняя
форма, которую математик придает своей мысли, орудие, делающее ее способной
объединяться с другими мыслями2, и, так сказать, язык, присущий математике, но не
более того. Упорядочить словарь этого языка и уточнить его синтаксис - это значит