"Архитектура математики" - читать интересную книгу автора (Никола Бурбаки)вратности судьбы, которым подвергалась унитарная концепция математики от пифаго-
рейцев до наших дней. Кроме того, это - работа, к которой более подготовлен фило- соф, чем математик, так как общей чертой всех попыток объединить в единое целое математические дисциплины - все равно, идет ли речь о Платоне, о Декарте или Лейбнице, об арифметизации или логистике XIX в" - является то, что они делались в связи с какой-либо более или менее претенциозной философской системой, причем исходным пунктом для них всегда служили априорные воззрения на отношения между математикой и двойной действительностью внешнего мира и мира мысли. Самое луч- шее, что мы сумеем сделать, - это отослать читателя по этому вопросу к историче- скому и критическому исследованию Л. Брунсвига "Этапы математической философии" [Brunschvig L., Les etapes de la philosophie mathematique, Paris, Alcana, 1912]. Наша задача более скромна и более точно очерчена; мы намереваемся остаться внут- ри математики и искать ответ на поставленный вопрос, анализируя ее собственное развитие. Логический формализм и аксиоматический метод После более или менее очевидного банкротства различных систем, на которые мы указывали выше, в начале этого века, казалось, почти полностью отказались от взгля- да на математику как на науку, характеризуемую единым предметом и единым мето- дом; скорее наблюдалась тенденция рассматривать ее как "ряд дисциплин, основы- вающихся на частных, точно определенных понятиях, связанных тысячью нитей" [Л. Брунсвиг, цит. соч., с.447] которые позволяют методам, присущим одной из дисцип- лин, оплодотворять одну или несколько других. В настоящее время, напротив, мы ду- маем, что внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости более чем когда-либо упрочила единство ее различных частей и создала своего рода централь- Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, сущест- вующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направле- ние, которое обычно называют "аксиоматическим методом". Иногда говорят также "формализм" или "формалистический метод"; но необходи- мо с самого начала остерегаться путаницы, которую вызывают эти недостаточно четко определенные слова и которая и без того часто используется противниками аксиома- тического метода. Каждому известно, что внешней отличительной чертой математики является то, что она представляется нам той "длинной цепью рассуждений", о которой говорил Декарт. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, во всем существенном совпадающей с логикой, известной со времен Аристотеля под названием "формальной логики", соответствующим образом приспособленной к специфическим потребностям математики. Таким образом, утверждение, что "дедуктивное рассуждение" является для математики объединяющим началом, - тривиальная истина. Но столь поверхно- стное замечание не может, конечно, служить объяснением единства различных мате- матических теорий, точно так же, как нельзя, например, объединить в единой науке физику и биологию под предлогом, что и та, и другая используют экспериментальный метод. Способ рассуждения, заключающийся в построении цепочки силлогизмов, яв- ляется только трансформирующим механизмом, который можно применять независи- мо от того, каковы посылки, к которым он применяется, и который, следовательно, не может характеризовать природу этих последних. Другими словами, это лишь внешняя форма, которую математик придает своей мысли, орудие, делающее ее способной объединяться с другими мыслями2, и, так сказать, язык, присущий математике, но не более того. Упорядочить словарь этого языка и уточнить его синтаксис - это значит |
|
|