"Е.М.Миркес. Учебное пособие по курсу Нейроинформатика " - читать интересную книгу автора

вектора a, и использовать обозначение a"k. Для дальнейшего важны следующие
элементарные свойства тензоров вида (13).
1. Пусть и , тогда скалярное произведение этих векторов может быть
вычислено по формуле
(14)
Доказательство этого свойства следует непосредственно из свойств
тензоров общего вида.
2. Если в условиях свойства 1 вектора являются тензорными степенями, то
скалярное произведение имеет вид:
(15)
Доказательство непосредственно вытекает из свойства 1.
3. Если вектора a и b ортогональны, то есть (a,b) = 0, то и их
тензорные степени любой положительной валентности ортогональны.
Доказательство вытекает из свойства 2.
4. Если вектора a и b коллинеарны, то есть b = О"a, то a"k=О"ka"k.
Следствие. Если множество векторов содержит хотя бы одну пару
противоположно направленных векторов, то система векторов будет линейно
зависимой при любой валентности k.
5. Применение к множеству векторов невырожденного линейного
преобразования B в пространстве Rn эквивалентно применению к множеству
векторов линейного невырожденного преобразования, индуцированного
преобразованием B, в пространстве .
Сюръективным мультииндексом О+-(L) над конечным множеством L назовем
k-мерный вектор, обладающий следующими свойствами:
1. для любого iL существует jв{1, ..., k} такое, что О+-j=i;
2. для любого jв{1, ..., k} существует iвL такое, что О+-j=i.
Обозначим через d(О+-(L),i) число компонент сюръективного мультииндекса
О+-(L) равных i, через |L| - число элементов множества L, а через О'(L) -
множество всех сюръективных мультииндексов над множеством L.
Предложение 1. Если вектор a представлен в виде , где ОIi -
произвольные действительные коэффициенты, то верно следующее равенство
(16)
Доказательство предложения получается возведением в тензорную степень k
и раскрытием скобок с учетом линейности операции тензорного умножения.
В множестве , выберем множество X следующим образом: возьмем все
(n-1)-мерные вектора с координатами 1, а в качестве n-й координаты во всех
векторах возьмем единицу.
Предложение 2. Множество x является максимальным множеством n-мерных
векторов с координатами равными 1 и не содержит пар противоположно
направленных векторов.
Доказательство. Из равенства единице последней координаты всех векторов
множества X следует отсутствие пар противоположно направленных векторов.
Пусть x - вектор с координатами 1, не входящий в множество X, следовательно
последняя координата вектора x равна минус единице. Так как в множество X
включались все (n-1) - мерные вектора с координатами 1, то среди них
найдется вектор, первые n-1 координата которого равны соответствующим
координатам вектора x со знаком минус. Поскольку последние координаты также
имеют противоположные знаки, то в множестве X нашелся вектор противоположно
направленный по отношению к вектору x. Таким образом множество X
максимально.