"Александр Архипович Ивин. Логика. Элементарный курс " - читать интересную книгу автора

С дальнейшим исследованием антиномии убеждение в необходимости
принципиально нового подхода неуклонно росло. Спустя полвека после ее
открытия специалисты по основаниям логики и математики Л. Френкель и
И.Бар-Хиллел уже без всяких оговорок утверждали: "Мы полагаем, что любые
попытки выйти из положения с помощью традиционных (то есть имевших хождение
до XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся,
заведомо недостаточны для этой цели".
Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этом
парадоксе: "В терминах логики, известной в XIX в., положение просто не
поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись
люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка".
Парадокс Рассела в первоначальной его форме связан с понятием
множества, или класса.
Можно говорить о множествах различных объектов, например, о множестве
всех людей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества
будет всякий отдельный человек, элементом второго - каждое натуральное
число. Допустимо также сами множества рассматривать как некоторые объекты и
говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как
множество всех множеств или множество всех понятий.
Множество обычных множеств
Относительно любого произвольно взятого множества представляется
осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет.
Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными.
Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество
атомов - это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными
элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет
собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.
Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно
множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ,
однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему
определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку
содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным
множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное
множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может
быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное
множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего
множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению,
что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным
множеством.
Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами,
есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким
элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых
правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов.
Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует.
Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов,
удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется
каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное
множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие
между возможными и невозможными множествами? Вывод о несуществовании
рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он