"Академик В. М. Глушков – пионер кибернетики" - читать интересную книгу автора (В.П. Деркач, В.Д. Пихорович)

Гносеологические основы математизации науки

Препринт семинара Института кибернетики АН УССР “Методологические вопросы кибернетики”, Киев, 1965 г.

Мы являемся свидетелями бурного развития науки. Одна из качественных особенностей этого развития – увеличение темпов математизации наук, в которых раньше математика либо не применялась вовсе, либо использовалась настолько незначительно, что не могла стать основой соответствующих научных методов.

Попытаемся проанализировать причины все увеличивающихся темпов математизации наук с точки зрения общей теории познания.

Таких причин, по крайней мере, две. Первая – это все возрастающие темпы развития, углубления каждой конкретной науки.

Хорошо известно высказывание К. Маркса о том, что наука достигает совершенства лишь постольку, поскольку ей удается пользоваться математикой. Действительно, на каком-то этапе развития, достигнув определенной степени глубины, любая наука начинает сначала робко, а затем все более и более основательно использовать математические методы.

Вторая причина – расширение границ самой математики. Ведь то, что называется математикой в наши дни, очень отличается, скажем, от определения, которое можно было дать математике в середине прошлого века. Границы математики сегодня очень раздвинулись, и это дает возможность использовать математические методы в других науках.

Такова общая характеристика.

Попытаемся теперь глубже проникнуть в основные причины, вызывающие этот процесс.

Основная схема процесса познания выражена в известной формуле: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике». Это общая линия развития всякой науки. Если же раскрыть каждый отдельный этап, то станет ясно, почему возникает необходимость и возможность использования математики.

Прежде всего, хочется отметить следующее. При переходе к этапу абстрактного мышления в любой науке обязательно, неизбежно, независимо от того, оформляется ли это в каждый данный момент, возникают предпосылки для использования математических методов. Значит, всякий раз, когда та или иная наука переходит от этапа простого созерцания действительности к этапу абстрактного мышления, осмысления этой действительности на абстрактном уровне, неизбежно возникают предпосылки для использования внутри соответствующей науки математических методов.

На первый взгляд такое утверждение может показаться чересчур смелым. Ведь целый ряд наук, например биология или экономика, достигли довольно высокого уровня развития, не используя явно математических методов, хотя, несомненно, в этап абстрактного осмысления фактов они давно вступили. Речь идет не о том, что они уже применяют математические методы, а о том, что переход к абстрактному мышлению всякий раз создает предпосылки для такого применения. Чем это объясняется? В чем заключается, с гносеологической точки зрения, переход ко второму этапу процесса познания, к абстрактному мышлению?

Если подходить к этому вопросу с позиций сегодняшнего дня, то становится ясно: первым этапом в абстрактном мышлении является разработка системы научных понятий и терминов, создание специального языка науки, с помощью которого выражается содержание данной науки. Здесь мы от простого созерцания явлений переходим к их классификации и объяснению. Это уже следующий уровень развития науки, уровень абстрактного мышления. Он неизбежно связан с возникновением некоторого научного языка, описывающего соответствующие понятия. Правда, этот язык далеко не всегда формализован в такой степени, как, скажем, язык алгебры или математического анализа. Но тому есть свои причины, и о них речь пойдет дальше.

Сначала этот язык является средством простого описания наблюдаемых фактов, возникает некая система понятий.

Затем – следующий шаг: язык используется не только для описания определенных понятий, но и для их классификации. Уже на этом этапе он представляет собой возможный объект для исследования математическими методами. Правда, разделы математики, изучающие внутреннюю структуру, например, системы понятий в языке и т.д., возникли относительно недавно. Поэтому соответствующий аппарат еще не очень хорошо разработан, и примеров его глубокого применения для исследования языка на этом этапе, на этапе классификации простых фактов, мы еще не имеем.

Тем не менее, подобный аппарат в современной математике существует. Он составляет такие её разделы, как теория частично упорядоченных множеств, теория структур, теория графов. Это уже аппарат для изучения тех связей между понятиями, которые составляют структуру языка, необходимую для простой классификации фактов. Такой этап неизбежен в развитии всякой науки.

Затем научный язык превращается не только в средство классификации фактов: все больше и больше проявляется основное свойство, ради которого он создается, – выражать внутренние закономерности, связи между отдельными фактами и явлениями, изучаемыми данной наукой. Поэтому в языке должны существовать и существуют средства для выражения таких связей. Они представлены уже в виде связей между соответствующими языковыми образованиями. Это требует развития не только структуры языка, но и, так сказать, алгебры языка.

Что такое алгебра в языке? Это совокупность различного рода формальных преобразований, которым мы можем подвергнуть те или иные фразы, слова, языковые конструкции. И язык тогда лишь становится средством соответствующей науки, средством выражения изучаемых ею закономерностей, когда соответствующая алгебра преобразований в нем становится достаточно богатой.

Алгебра в языке – это не только математизированная часть науки. Я хочу показать на примерах, что понятие формальных преобразований в языке и алгебры языка много богаче и в действительности охватывает незаметно, скрытым образом практически все науки, а не только те, которые сейчас математизированы. Простейший пример такого языка – именно язык алгебры, изучаемый в школьном курсе, известные формулы, которыми можно выражать, допустим, какую-то одну величину в разных видах. Несколько более скрыта эта алгебра, например, в языке ботаники или языке медицины. Тут тоже существует алгебра преобразований, правда, она не столь формализована, поэтому мы не обращаем на нее такого внимания.

В чем состоят правила формальных преобразований в языке, скажем, ботаники или медицины? В чем, например, состоят в ботанике или зоологии основные связи между понятиями, отражаемые в соответствующем языке? Приведу пример.

Существует какой-то набор признаков, в зоологии – наличие раздвоенного копыта, хвоста, определенного способа размножения и т. д. После этого дается соответствующее название вида, например – горный козел. Первое – не что иное, как развернутое представление в языке соответствующего понятия, а второе – его сжатое представление. Можно трактовать первое как некоторую формулу в соответствующем языке, а второе – как эквивалентное преобразование этой формулы. При этом так же, как и в обычной алгебре, существует множество разных записей. Можно, например, горного козла характеризовать не только этой совокупностью признаков, но и какой-нибудь другой. И тогда я устанавливаю тождественные соотношения между этими двумя совокупностями признаков. Они характеризуют в рамках данной науки одно и то же – один и тот же предмет, один и тот же объект, одно и то же явление.

Точно так и в медицине. Скажем, совокупность признаков, определяющих какую-то болезнь, и название соответствующей болезни. Это тоже можно трактовать как некое формальное соотношение в соответствующем языке.

Если вы внимательно всмотритесь в развитие любой науки, то увидите, что, собственно, наука лишь тогда становится настоящей наукой, когда начинает использовать эту алгебру, устанавливать связи между соответствующими понятиями и может расшифровывать какие-то сжатые определения, расписывать их более подробно или, наоборот, свертывать подробные определения в более сжатые, устанавливать связи между разными явлениями посредством более коротких, сжатых записей. И то, и другое, в конечном счете, характеризует одно и то же.

Значит, адекватным математическим аппаратом для описания алгебры формальных преобразований в языке являются тоже соответствующие разделы математики. Это, прежде всего, математическая логика, общая теория моделей и общая теория алгебраических систем. Математическая логика начала складываться в конце или в середине прошлого века, а общая теория моделей и алгебраических систем – уже в середине нашего столетия. В основном все эти науки, по-видимому, еще не имеют глубокого применения соответствующих теорий за пределами классических математических языков. Сейчас они начинают применяться лишь при исследовании естественных человеческих языков.

Итак, мы приходим к характеристике любой науки уже в языковом аспекте, к отражению этой науки в сознании человека как к чему-то, состоящему из двух основных частей. Первая, основная, – это информативная часть языка, непосредственная информация, не классифицированная, а просто отобранная каким-то образом совокупность фактов, которые надлежит помнить, чтобы быть эрудированным в соответствующей области науки. Вторая часть – это соответствующее исчисление.

Исчислением называется такая сжатая форма выражения связей, правил, выводов, которые позволяют переходить от одних языковых образований к другим. Например, обычные логические исчисления позволяют переходить от аксиом к следствиям из них, к каким-то теоремам. Правила формальных преобразований, которые мы изучали в алгебре, позволяют от каких-то канонических форм записи алгебраических формул переходить ко всем остальным записям. Так, правила дифференциального исчисления позволяют также от вполне определенной формы записи, скажем, выражения дифференциала с буквой d в левой части выражения, переходить к тоже вполне определенной форме записи дифференциала в правой части выражения.

Эти исчисления и есть совокупность правил, которые позволяют оперировать понятиями соответствующего языка и выводить из этих основных фактов какие-то новые, С точки зрения чисто информационной, тут возникает задача, которая может трактоваться как задача на оптимум: каким образом построить исчисление и отобрать совокупность фактов, чтобы в целом занять для хранения соответствующей информации минимальный объем. Ведь вы можете развить очень сильное исчисление, взять большое количество правил и малое количество основных фактов, а можете, наоборот, взять большое количество фактов, можете все помнить, быть эрудитом, но не очень глубоко логически мыслить, не уметь из этих фактов делать какие-то выводы, а просто запоминать каждый новый факт, хотя он и является следствием из предыдущих.

Кстати, здесь возникает интересный вопрос об истоках тех представлений, которые возникли в начале XX века и которые критиковал в свое время В. И. Ленин. Речь идет о провозглашенном махистами так называемом принципе экономии мышления. Ошибка махистов заключается в том, что они видели в этой самой экономии мышления основополагающий принцип развития науки. Они считали, что сам язык развивается не для того, чтобы описать адекватным образом явления природы, отражать их, а исключительно для того, чтобы сэкономить память, сэкономить мышление. Поэтому, если мышление что-то такое экономит, значит, оно истинно, значит оно с этой точки зрения хорошо, правильно отображает действительность, если не экономит, – тогда оно неверно.

В самом деле этого, конечно, нет. Ведь вполне возможен случай, когда, глубоко познавая природу, изучая какие-то очень сложные закономерности, мы волей-неволей должны вступать в противоречие с этим принципом, использовать весьма неэкономные формы хранения информации. Действительно, человеческий язык очень экономен, но эта «экономность» выступает как вторичное, вовсе не основополагающее явление в развитии соответствующей науки, как представляли себе махисты.

Почему же не во всех науках, несмотря на общность структуры языка, ранее успешно применялась математика? Ведь если стоять на этих общих позициях, математика должна применяться абсолютно всюду. Ибо как только вступили на этап абстрактного мышления, так сразу неизбежно возникает, наряду с информационной частью языка, исчисленческая его часть, возникает, следовательно, соответствующая алгебра исчислений формальных преобразований в языке.

Почему же, тем не менее, одни науки развивались, не используя математику, как, например, эволюционная биология или та же классическая ботаника, а другие широко использовали математику?

Это объясняется следующим. Математика сама сравнительно поздно вступила на путь формализации своих собственных языков. Наиболее ранним примером формализации, хотя тоже не вполне еще строго проведенной до конца, была, по-видимому, формализация языка геометрии. Много позже был формализован язык алгебры и математического анализа. Но все же до определенного времени объектом изучения математики были языки специальных видов – скажем, язык обычной школьной алгебры, язык математического анализа. Поэтому остальные науки применяли математику лишь постольку, поскольку существовал изоморфизм между какими-то частями языка соответствующей науки и языка соответствующего раздела математики, который был развит.

Если мы имеем язык некоторой науки, к примеру, механики, и язык математического анализа, и у них есть какая-то довольно значительная общая часть, перекрытие, тогда мы просто используем для описания соответствующих механических явлений определенный язык, где уже развита алгебра формальных преобразований, структура соответствующих понятий и т.д., и утверждаем, что используем математику для развития механики. Причем, в случае механики это перекрытие является очень значительным, т.е. практически почти вся механика – это прикладная теория дифференциальных уравнений. В других науках не было возможности использовать готовые языки, созданные внутри математики, поэтому до поры до времени они соответствующих языков не использовали.

Любопытно, почему такие языки, как, например, язык алгебры, язык анализа, развивались, а язык, который хорошо может описывать связи внутри медицины или ботаники, соответствующие понятия, которыми они оперируют, не формализовался, не развивался?

На это есть свои причины. Если мы проанализируем языки, которые были формализованы первыми в математике, например язык алгебры или язык математического анализа, то увидим, что у них сравнительно слабо развита информативная часть и сравнительно сильно – исчисленческая. Есть еще одна особенность у этих языков: мы должны помнить сравнительно мало основных понятий, исчисление сразу открывает нам очень богатую область следствий из фактов.

Этим отличается математическая форма восприятия действительности от формы восприятия, присущей, например, медикам. Как известно, медик должен заучить огромное количество структур и функций организма, а также принять во внимание множество факторов их проявлений. Математики же изучают сравнительно небольшое количество основных фактов и соответствующие правила исчисления. Причем в эти правила исчисления, естественно, включаются не только правила преобразования внутри языка алгебры или анализа, но и правила соответствующих доказательств, правила логического мышления. Это скорее потенциальные возможности самой науки, а не способ её изучения конкретными людьми. Правда, можно себе представить и математика, который просто зазубривает наизусть какой-то курс, а за его пределами самостоятельных выводов сделать не может. Тем не менее, характерная особенность все же остается.

Вторая особенность заключается в следующем. Благодаря развитости исчисленческого аппарата, мы имеем возможность делать выводы относительно небольшой длины. Очень глубокие следствия из фактов, полученные этим исчислением, лежат на сравнительно коротких отрезках построения. Если вы развернете исчисление в самые мельчайшие, сузите его, – ведь можно всегда сузить исчисление, т.е. не помнить правила алгебраических преобразований, не помнить, каким образом берутся интегралы, а каждый раз выводить все из основных аксиом, – тогда соответствующие построения станут очень длинными. Но благодаря развитости исчисленческого аппарата, соответствующие выводы относительно коротки, т.е. доступны не вооруженному машинами человеческому уму. Это очень важный факт.

Вот, собственно, такой класс языков и изучался раньше математикой, и причины для этого вполне основательны: мы не имели соответствующих механических, автоматических средств, чтобы усилить способности человека воспринимать действительность, поэтому, волей-неволей, языки, которые не удовлетворяли этому условию (предположим такие, у которых исчисленческая часть могла давать глубокие следствия только в результате каких-то очень длинных построений), находилась тогда за пределами возможности практического использования и поэтому не развивались.

В исчисленческую часть языка любой науки, помимо сугубо классификационных соотношений, всегда включаются неявным образом еще исчисления логики. Каждый человек, овладевший совокупностью фактов той или иной науки, присоединяет к этой совокупности фактов еще способность логически мыслить, иначе говоря – присоединяет исчисление, которое в современной математике может быть описано как одно из логических исчислений (допустим, исчисление высказываний или узкое исчисление предикатов и т.д.). Правда, это исчисление опять-таки, как правило, не формализовано, пользуются им до известной степени бессознательно.

Как ни странно, наиболее содержательная, наиболее сознательная часть деятельности человека в значительной мере протекает по не вполне осознаваемым (в процессе их применения) законам. Тем не менее, это так. Исчисленческая часть на обычных языках, как правило, включает только математическую логику плюс некоторый аппарат связи в языке типа тех, о которых я говорил. Аппарат математической логики, общий для всех наук, есть и в математике. Но если бы мы оставались только в рамках этой математической логики, то, конечно, ничего существенного в математике получить не смогли бы, не имели бы соответствующего развитого аппарата исчисленческой части математики, потому что все выводы, все сколько-нибудь серьезные теоремы находились бы на таком большом расстоянии от основных фактов, что выводить их “вручную”, без автоматических средств, было бы невозможно.

Именно то обстоятельство, что здесь развита какая-то дополнительная исчисленческая часть, причем очень мощная, дает нам возможность успешно развивать математику. Эта исчисленческая приставка определяет степень развитости, подготовленности той или иной науки к эффективной математизации. В примерах, о которых я говорил, например механики или того же математического анализа, соответствующая исчисленческая часть очень богата, в то время как о медицине этого не скажешь.

Общее количество соотношений в языке медицины, возможно, и не меньше, а даже больше, чем в языке математики, но в последнем эти соотношения, как мы привыкли говорить в алгебре, как правило, тождественны, т.е. применимы сразу для очень широкого круга понятий. Если я пишу формулу, например (а + в)² = а² + 2ав + в², то под а ив я могу понимать и числа, и функции, и какие-то формулы и т.д., все равно соответствующая формула будет верна. В то же время, если я пишу соотношение, скажем, определяющее эквивалентность каких-то двух наборов признаков в медицине, то такое соотношение годится только для этих наборов и больше ни для чего. Степень общности соответствующих соотношений мала. Это выражает относительную бедность исчисленческой части, т.е. к любому наперед заданному выражению гораздо большей является вероятность применения формул в “богатом” исчислении, чем соответствующих формул в языке медицины или ботаники.

Наука развивалась таким образом, что какой-то, конкретный язык, например математический анализ или что-то подобное, налагался на язык соответствующей науки. В связи с этим и родилось мнение, будто далеко не все можно выразить формулами, в частности в биологии или экономике. Попытки установить изоморфизм готовых частей языков, уже сложившихся в математике, с языками соответствующих наук не давали эффекта. Соответствующая оформленная часть математического анализа не накладывалась, допустим, на некоторые биологические явления. Поэтому считалось, что выразить такие явления формулами невозможно.

Но так было до поры до времени, пока математика не занялась общей теорией языков. Сейчас в область интересов математики попали не какие-то специальные языки, а любые, какие только можно построить. Поэтому математика сделала определенный шаг к тому, чтобы включить в сферу своего влияния, в сферу своего внимания, абсолютно все науки, вступившие на этап абстрактного мышления. Та же область знаний, которая еще не вступила на такой этап, вряд ли может называться наукой.

Почему на первом этапе недостаточно были формализованы языки в других науках? Этот вопрос особенно хотелось бы обсудить на семинаре.

Мне кажется, это связано с особенностями познавательного аппарата у человека. Та часть аппарата нервных клеток головного мозга, которая заведует сознательной деятельностью, осознанными действиями, составляет сравнительно небольшой процент по отношению к общему объему головного мозга, т.е. подсознательная, интуитивная, неосознанная деятельность человека, с точки зрения объема используемого аппарата нервных клеток, занимает гораздо больший процент. Это можно подтвердить хотя бы тем, что мы не осознаем, каким образом распознаем зрительные образы. А ведь зрительный центр, включающий в себя механизм распознавания, составляет чуть ли не добрую половину клеток головного мозга! Поэтому всякий раз, когда человек сталкивается со сравнительно сложными языковыми образованиями, у него в связи с ограниченными возможностями активной части его познавательного аппарата невольно подключается зрительный центр с механизмом распознавания.

Что значит “активная часть познавательного аппарата”? Я должен был, скажем, заучить какие-то основные факты, построить какое-то формальное исчисление и попытаться из них делать выводы. Но, как я уже сказал, в медицине пришлось бы писать, запоминать очень много таких единичных формул, и выводы в той же эволюционной теории были бы очень длинными. Чтобы проследить, что получается в результате применения заданных законов эволюции того или иного вида, следовало бы фактически “проигрывать” весь этот процесс, делать очень длинные логические построения (как при моделировании процесса эволюции на машине “Київ”) и иметь дело с 60 тысячами поколений.

Таким образом, активная часть человеческого мозга в целом проблему не охватывает и не получает хороших практических применений, если бы мы даже и формализовали это. Вместить в активную часть мозга соответствующую систему основных фактов, правил и промежуточных построений, необходимых для получения сколько-нибудь интересных выводов, все равно бы не удалось.

Поэтому всякий раз, когда человек сталкивается с такого рода сложными проблемами, возникает стремление подключить, так сказать, подсознательные части своего познавательного аппарата. Это объясняется стремлением использовать разного рода графические методы наглядного представления, И вот здесь мы сталкиваемся с интересной особенностью: мощность логических преобразований, которые у нас заложены в зрительном центре и других частях головного мозга, управляющих нашей подсознательной деятельностью, настолько превосходит возможности сознательной деятельности, что возникает своего рода парадокс. Объясню это на примере.

Предположим, речь идет о решении какой-то комбинаторной задачи. Допустим, это задача о коммивояжере. Имеется некоторое количество городов, скажем, пять. Известна стоимость проезда из одного города в другой, или расстояние между ними, или еще какие-то данные. Нужно составить такой маршрут для коммивояжера, чтобы он посетил все города, вернулся в исходный пункт и при этом истратил наименьшее количество денег или пролетел минимальное расстояние.

Если вы проанализируете такого рода задачу, то увидите следующее. Когда она представлена наглядно в виде какого-то графика, и мы подключаем для её решения наше подсознание, возможности, заложенные в зрительном центре или каких-то иных глубинных отделах мозга, то у нас существует некоторый предел сложности задачи, где мы почти сразу угадываем решение. Скажем, для задачи о коммивояжере человек использует наглядные представления. В случае хорошо записанной информации мы можем для пяти-шести городов почти сразу угадать решение. В то же время, если мы построим соответствующее исчисление, правила вывода, которые позволяют по заданным ценам построить маршрут, и это исчисление поместим уже не в подсознательную часть нашего познавательного аппарата, а в сознательную, то потребуются такие скоростные возможности по перебору вариантов, что уже на пяти – шести городах мы можем “захлебнуться”.

Возникает вопрос: нужен ли в этом случае человеку формальный аппарат вывода? Не проще ли за разумное время сразу угадать решение при помощи подключения своего зрительного центра? Ведь то, чего нельзя увидеть, всё равно нельзя получить даже с помощью этого исчисления, потому что получается слишком длинный вывод.

Мне кажется, что в этом и состоит одна из причин, почему соответствующие исчисленческие методы в более сложных случаях, к примеру, комбинаторных, раньше не создавались: они не имели практического применения. Предположим, я предложил какой-то регулярный прием для решения задачи о коммивояжере, но у меня нет математической машины, и я должен решать задачу “вручную”. Допустим, я дошел бы вместо шести городов до восьми. При некоторой изощренности графического метода, наверное, смог бы натренироваться настолько, что, как правило, мгновенно угадывал решение в большинстве случаев. Зачем же мне тогда аппарат формальных выводов?

В этом, по-моему, состоит первая, основная причина того, что в случае сложных языков, сложных связей (а эти сложные связи характеризуются именно глубиной соответствующих построений) исчисленческая часть такова, что соответствующие логические построения, дающие возможность из основных фактов получить какой-то вывод, имеют очень большую глубину и практически за разумное время для “невооруженного человеческого мозга” невыполнимы.

Условно назову такие языки сложными, а те, в которых можно получить соответствующие результаты “вручную”,– простыми. Может быть, впоследствии иной подход к построению исчисления сделает эти факты более простыми, чем нам сейчас представляется, но на современном этапе развития разница между соответствующими группами фактов и языков довольно ясно чувствуется.

Значит, существует класс простых явлений, описываемых развитыми языками математического анализа и алгебры, и класс сложных, описываемых разного рода дискретными комбинаторными правилами вывода. И в этом случае у человека невольно возникает потребность использовать для их решений подсознательную часть своего мозга. Точно то же и в шахматах, где тренируется опять-таки, прежде всего, не способность к перебору вариантов, не то, что человек осознает, а именно подсознательная часть – так сказать, видение доски в целом. Эта часть настолько превосходит возможности сознательного перебора, даже с разумными правилами этого перебора, с возможностями построения исчисления, что у человека просто не возникало необходимости в построении соответствующего исчисления, его запоминании, за исключением простых случаев, например, ладейных окончаний, где уже не видение работает, а действительно какие-то схемы, какое-то исчисление.

Такова, мне кажется, глубокая причина, которая не вызывала необходимости формализовать соответствующие исчисления.

А как это проявляется? Дело заключается в следующем. Особенности подсознательного аппарата у человека таковы, что непосредственно закладывать туда информацию нельзя. Этот аппарат и называется подсознательным, а не сознательным, потому что мы не знаем, как в него закладывать информацию. Если бы я, допустим, изучил правила распознавания какого-то класса зрительных образов, то все равно просто заложить эти правила в свой зрительный центр не смог бы. Мы не знаем, как это делается. Значит, способы обращения к соответствующим запоминающим устройствам, если можно так сказать, лишь косвенные – через обучение на конкретных примерах. Поэтому при использовании своего подсознательного аппарата для решения соответствующих задач невольно возникает необходимость обучения этим способам решения на конкретных примерах. Это же, в свою очередь, вызывает следующее: механизм соответствующего аппарата опять же таков, что обучение на примерах дает, во-первых, многозначность выражений в языках, во-вторых, большой элемент случайности, что при обучении на опыте непосредственно связано. Для человека, который обучается на опыте, на отдельных частных примерах, более естественными являются не строго формализованные языки, а языки с не очень четко очерченными границами соответствующих понятий.

Вот я пишу на обычном русском языке несколько фраз. Предположим, они находятся в пределах одного и того же класса понятий, и образ, который возникает у любых двух людей, читающих эту фразу, один и тот же. Но вот я написал еще какое-то выражение. Один человек воспримет его как эквивалентное им в каком-то смысле, на каком-то уровне, а у другого оно уже будет эквивалентно другим выражениям.

Сказывается некоторая нечеткость границ в языке. Она, естественно, вызывает трудности формализации, и это вполне понятно: когда мы закладываем сознательную часть, нам выгодно формализовать все до конца и делать эти границы вполне четкими, когда же используем подсознательную часть аппарата, то само устройство последнего не дает нам других возможностей. Если бы мы могли проникнуть хирургическим путем, допустим, в зрительный центр, и сразу вложить туда правила, тогда бы все было по-иному (если бы правила, к тому же, были известны). Однако сейчас это практически невозможно. Поскольку не было причин стремиться к соответствующей формализации, не было возможности ее осуществить, мы вынуждены были использовать подсознательную деятельность человека и волей-неволей вступили на путь расплывчатых языковых описаний. Это неизбежно.

Теперь, во второй половине XX века, положение изменилось.

Во-первых, изменилось содержание математики. Она включила в сферу своего внимания не только специальные языки – язык алгебры или математического анализа, а все языки. Сегодня общая теория языков тоже есть предмет математики.

Следующий факт – появление электронных вычислительных машин. У них подсознательная часть совершенно отсутствует, поэтому мы вкладываем все в “сознательную”. Но если её даже сравнивать с человеком, то для последнего в задаче о коммивояжере пределом является непосредственное видение с подключением всего зрительного аппарата. Опыты такие не проводились, но можно предположить, что пределом возможностей человека в решении задачи о коммивояжере является пять-восемь городов. Во всяком случае, эта граница лежит где-то не дальше первого десятка. При использовании же исчисленческого аппарата в случае ручного счета пределы для человека остаются примерно теми же, а в случае использования машины они повышаются примерно до 30 или, по крайней мере, до 20, а при использовании некоторых частных методов выбора можно дойти и до 60. Во всяком случае, возможности существенно расширяются, и, следовательно, возрастает интерес к формализации. А так как вы начинаете строить соответствующие исчисления, область науки, в которой раньше не было формального аппарата, уже становится (по форме, во всяком случае) математической теорией.

Это и есть, мне кажется, основная гносеологическая причина математизации наук на современном этапе. То обстоятельство, что мы вступили в век автоматизации процессов познания, позволяет нам считать, что пройден рубеж, который искусственно сдерживал границы математики, когда лозунг развития естествознания гласил “мир устроен просто”. Возник такой лозунг не случайно. Ведь всякий естествоиспытатель, находя какой-то сложный закон природы, какое-нибудь уравнение Ван дер Ваальса с дополнительными членами, чувствовал себя неудовлетворенным. В XIX веке над ним довлела мысль: не может быть! В действительности природа должна быть устроена просто.

Таков был неявный познавательный принцип. Конечно, принцип наивный, но он был очень прогрессивным для своего времени. Он нацеливал внимание математиков, естествоиспытателей именно на те части естествознания, которые можно было описать простыми средствами, имевшимися тогда в распоряжении математиков.

Сейчас – иное дело: к лозунгу, что мир устроен просто, мы вполне можем прибавить лозунг, что в кое-каких частях он все же устроен сложно, и включить в сферу своего внимания определенную часть сложно устроенных, по существу сложно устроенных, вещей, сложных систем.

Одной из таких сложных систем является экономика, где, по-видимому, невозможно предельное упрощение, сведение к каким-то простым формулам, каким-то очень простым закономерностям. Конечно, такие закономерности есть, но они очень грубо качественно выражают соответствующие законы. Если же вы хотите действительно изучить более детально развитие экономики, то волей-неволей придется выводить сложные закономерности, рассматривая большое количество фактов. Мир экономики устроен сложно, и с этим ничего не поделаешь. Раньше мы вынуждены были делать вид, что таких вещей не существует, а теперь есть средства для того, чтобы такие вещи познавать, описывать и эффективно использовать на практике. Поэтому мы должны включить их в сферу своего внимания.

Стоит остановиться еще на двух вопросах, чтобы замкнуть нашу цепь.

От живого созерцания к абстрактному мышлению мы поднялись. На этом уровне уже возникли предпосылки для применения математики, внутренние возможности, определяемые самой этой наукой. Сейчас и развитие математики дает возможности, необходимые для этого. А необходимость применения этих методов, конечно, определяется тем, что мы опять должны вернуться к практике. Если бы это делалось ради самого развития, то может быть, процесс был бы замедленным и не стали бы сегодня в экономику или биологию внедрять математические методы. Имея какую-то совокупность основных фактов из наблюдений и построив соответствующий, пусть сложный, исчисленческий аппарат, основанный уже на комбинаторных методах, в основном дискретной математики (хотя не исключено, что здесь найдут также применение в последующем многие разделы непрерывной математики), мы хотим иметь вполне определенные практические результаты, которые позволяют получить из этих основных фактов какие-то следствия, нужные для практики.

К примеру, в экономике это следующая задача. Мы уже наблюдали развитие экономики, знаем влияние на неё тех или иных факторов, можем построить соответствующее исчисление (причем, оно в своей основе сложное и не может быть сведено к какому-то уравнению, формуле или двум-трем формулам) и получать математическим путем с помощью электронных машин различные следствия из тех или иных комбинаций этих факторов, выбирая пути наилучшего развития экономики.

Точно так же в медицине. Имея какие-то информационные модели развития болезни, т.е. тоже фактически исчисления, мы можем на основе определенного количества известных фактов с помощью соответствующего исчисления получать новые факты, открывать даже свои собственные Нептуны на кончике пера, что в свое время сделал Леверье. Математические методы дают возможность открывать новые факты, независимо от опыта. Получив из опыта какой-то определенный материал, обработать его уже, не глядя на опыт, а потом снова вернуться и посмотреть, так ли оно на практике.

И, наконец, последний вопрос – важный, с точки зрения гносеологии,– вопрос сохранения специфики соответствующих наук.

Часто говорят: не приведет ли математизация к тому, что все науки станут просто разделами математики? Конечно, нет. Процесс математизации наук вовсе не означает поглощения конкретных наук математикой, кибернетикой и т.п.

Каждая наука характеризуется своим предметом и своими методами. Что касается предмета науки, то тут совершенно ясно: он всегда будет специфичен для каждой науки. Скажем, физиология человека всегда будет изучать человека, и, хоть в ней будет применяться автоматическое регулирование или математика, предмет её изучения всё равно будет специфичен.

А как обстоит дело с точки зрения методов? И здесь каждая наука будет иметь свою специфику, несмотря на математизацию. Любая естественная наука вовсе не сводится только к своей информационной модели. Информационная модель любой науки – это мгновенная её фотография на данном этапе. Но в информационной модели – в исчислении и информационной части – идет процесс непрерывного пополнения новыми фактами. Такие факты могут открываться и с помощью математических методов, т. е. с применением правил исчисления уже известных фактов, и чем дальше, тем их будет все больше и больше.

Однако развитие науки рано или поздно остановится, если не будет нового притока фактов из объективной действительности. Например, в механике: казалось, что новые факты после Ньютона притекать не будут, что речь идет просто о том, чтобы анализировать основные аксиомы, уравнения, и, значит, вся механика, если говорить о механике точной, переведена в рамки математики. Но открытие теории относительности показало, что это далеко не так. Необходимость наблюдения новых фактов объективной действительности вовсе не снимается внешним совершенством науки.

Несмотря на кажущуюся законченность науки, её внешнее совершенство, необходимость экспериментальной части в этой науке обязательно остается. Эти новые экспериментальные факты, методы их получения, определяются предметом науки и, следовательно, специфичны для каждой науки. Для механики это одни методы, для биологии – иные, хотя те и другие могут использовать, например, методы радиоэлектроники для своих целей. Тем не менее, при получении фактов механики или биологии методы существенно отличны.

На этапе абстрактного мышления внутри самой информационной модели науки тоже будут существовать различия. Несмотря на то, что мы можем в математике изучать общую теорию языков, она, по-видимому, даст нам сравнительно мало: как всегда, слишком общая теория имеет слишком малое содержание. Поэтому, безусловно, будут развиваться специфические, конкретные информационные языки, учитывающие особенности развития каждой данной науки. И информационный язык науки, и соответствующая исчисленческая часть её будут в какой-то мере специфическими, будут иметь свои собственные правила вывода. Хотя все они пользуются математической логикой, – это часть общая для всех, – тем не менее, к ней добавляется ещё значительная исчисленческая часть. Она будет тоже специфической для каждой отдельной науки.

Наконец, практические применения каждой соответствующей науки тоже вполне определяются объектом исследования, предметом данной науки и, конечно, тоже будут обладать специфическими особенностями для данной науки.

Таким образом, математизация вовсе не означает уничтожения конкретных наук и включения их в математику. Каждая наука будет сохранять свою специфику, как в части предмета своего исследования, так и в части методов, несмотря на то, что здесь все большее место будут занимать методы, которые мы привыкли называть математическими.

Включать ли это в математику, считать ли эти методы математическими? Это, конечно, вопрос определения, но вопрос очень существенный для будущего развития математики. Ведь если мы назовем общую теорию языков и теорию конкретных информационных языков не математикой, хотя она по форме должна строиться как математическая теория, как мы привыкли понимать математику, то это будет просто означать угасание математики. Математика будет до известной степени вырождаться, она все в большей и большей мере будет вариться в кругу своих задач, чему мы уже сегодня являемся свидетелями, когда возникают задачи, даже теперь никого не интересующие. Решение этих задач не обогащает математический аппарат, и сам результат не интересен, с точки зрения примененияматематики. Тем не менее, зачастую вся мощь математики нацеливается на решение таких задач. В любой науке – это один из признаков вырождения. Если же вы считаете, что математика должна иметь более светлое будущее, то надо, вероятно, согласиться с тем, что вышеупомянутые методы следует тоже отнести к математике. В противном случае математика будет идти к упадку, а вместо нее будет рождаться нечто новое.