"Ритмы и алгоритмы. Второе издание" - читать интересную книгу автора (Сухотин А.К., Художник Б.Жутовсний. )

Мы уже говорили, что множество (класс) есть совокупность объектов,
которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество
тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество
элементом самого себя, то есть принадлежит ли оно к числу элементов
собственного класса?
В этом пункте начиналось интересное.
Есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного
элемента. Например, класс списков, Его элементами являются конкретные
списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов
некоторой группы и т. д. Но и сам класс оказывается в числе своих
элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и
каталог каталогов есть каталог.
Однако подобных классов очень немного. Обычно же классы не содержат
себя в качестве собственного элемента. Возьмем, например, множество
"человек".
Его составляют конкретные люди: Петров, Сидоров, Аристотель. Любой
человек, молодой или в возрасте, мужчина или женщина, студент или
профессор - каждый из них является элементом множества "человек".
Само же это множество элементом собственного класса стать не может, ибо
нет человека вообще, человека как такового. Это не более чем абстракция,
понятие, которое отвлечено от всех конкретных признаков и существует
только в идеальном виде как мысленная конструкция.
А теперь образуем класс из всех вот таких классов, которые не включают
себя в качестве своего элемента:
"человек", "дерево", "планета" и т. п. Образовали. Попытаемся также
определить, будет ли он, этот новый класс, входить элементом в свое же
множество или не будет? Здесь и возникал парадокс. Если мы включим его в
свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят
только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если
выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию:
он же в этом случае не является элементом своего множества.
Таков смысл парадокса, названного именем Б. Рассела. Имеется его
популярное изложение - "парадокс парикмахера". Он приписывается также Б.
Расселу.
В некой деревне, где жил единственный парикмахермужчина, был издан
указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни,
которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам
себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем,
если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не
бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.
Но логический парадокс, выявленный Б. Расселом, был свидетельством
противоречий в содержании математической теории. Согласно одной из теорем
Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества,
обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует
потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще
более мощное.
Это с одной стороны. А с другой, интуитивно очевидно, что множество
всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность
всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все
мыслимые множества.