"Апология математики" - читать интересную книгу автора (Успенский Владимир)Глава 8. Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математикеТо, что общественное сознание отчасти мифологично, давно перестало быть новостью. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не “понятно массам”, а “понято массами”, а Пушкин (в письме к жене) писал не “с умом”, а “с душою”. Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, этом заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна: ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф - формула Математика может чувствовать себя польщённой тем, что к числу деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, принадлежат и некоторые математические сюжеты. Например, большинство убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяется через другие понятия, а каждое утверждение доказывается, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: “Портной учился у другого, другой у третьего, да первой портной у кого же учился?” Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: “Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, - при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников”. Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, - при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть какое угодно количество сторон, в правильном же многограннике количеством граней может служить лишь одно из следующих пяти чисел: четыре (у тетраэдра), шесть (у куба, он же гексаэдр), восемь (у октаэдра), двенадцать (у додекаэдра) или двадцать (у икосаэдра) - так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи. Самое же замечательное явление связано с отражением в мифологическом сознании учения о параллельных прямых. Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали и об аксиоме о параллельных прямых - ведь её проходят в школе. Никто из так называемых “людей с улицы”, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство из опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных входит в массовое сознание. Получив указанный выше ответ на вопрос о содержании аксиомы о параллельных, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула “и лежат в одной плоскости” не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают, что тут что-то не так: ведь никакая аксиома не может заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт это сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее аксиому о непересекаемости непересекающихся прямых вполне возможной. С представителями этого меньшинства договориться трудно - разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. А возможна ли такая аксиома: “Всякий зелёный предмет является зелёным”? - спрашивал я. Конечно возможна, отвечали мне представители меньшинства; вот если сказать “Всякий зелёный предмет является красным”, то такая аксиома невозможна.) Замечательно, что присутствие в общественном сознании ложной формулировки аксиомы о параллельных (“параллельные прямые не пересекаются”) имеет интернациональный характер. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор этих строк убедился следующим образом. В марте 2006 года на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных - наблюдениях, полученных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст Колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: “В том, что параллельные прямые не пересекаются”. Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы. Но сюжет с параллельными прямыми на этом не заканчивается. Респондента, осознавшего абсурдность своего ответа, можно спросить, в чём же всё-таки состоит аксиома о параллельных. На этом этапе вы скорее всего получите такой ответ: “Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой”. Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: из точки надо сперва опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой - а именно к опущенному перпендикуляру - и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: Учение о параллельных - основа геометрии Лобачевского. Чем эта геометрия отличается от обычной, евклидовой, будет сказано несколькими абзацами ниже. А пока констатируем, что Лобачевский, возможно, является единственным российским математиком, присутствующим в общественном сознании (а если брать всех математиков, а не только российских, то, скорее всего, один из двух; другой - Пифагор). Его место закреплено в поэзии: “Пусть Лобачевского кривые / Украсят города / Дугою ‹…›”, “И пусть пространство Лобачевского / Летит с знамён ночного Невского”, - призывает Хлебников в поэме “Ладомир”. Бродский, в стихотворении “Конец прекрасной эпохи”, не призывает, но констатирует: Жить в эпоху свершений, имея возвышенный нрав, к сожалению, трудно. Красавице платье задрав, видишь то, что искал, а не новые дивные дивы. И не то чтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут, но раздвинутый мир должен где-то сужаться, и тут - тут конец перспективы. Если спросить “человека с улицы”, в чём состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: “Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются” (в более редком и изысканном варианте: “Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься”). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: “А что такое параллельные прямые?” - и получить ответ “Параллельные - это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются”. После чего можно пытаться (с успехом или без оного) убедить своего собеседника в несовместимости между собой двух его ответов. Намёк на схождение параллельных в точку содержится уже в приведённой цитате из Бродского о сужении мира до финального “конца перспективы”. Более раннее свидетельство1 встречаем в романе В. А. Каверина “Скандалист, или Вечера на Васильевском острове”. Открываем изданный в 1963 году первый том шеститомного Собрания сочинений на страницах 447 и 448. Герой романа Нагин2 просматривает читанную ранее “книгу по логике”, и вот “он внезапно наткнулся на вопросительный знак, который был поставлен на полях книги его рукою. Одна страница осталась непонятой при первом чтении курса. Вопросительный знак стоял над теорией Лобачевского о скрещении параллельных линий в пространстве”. Нагин собирается писать рассказ на эту тему: “Он кусал себе ногти. „Параллели, параллели”, написал он здесь и там на листе ‹…›. „Нужно заставить их встретиться”, - начертал он крупно ‹…›”. Наконец, прямое указание находим в фольклоре (а ведь буквальное значение слова Однажды Лобачевский думал, кутаясь в пальто: Как мир прямолинеен, видно, что-то здесь не то! И он вгляделся пристальней в безоблачную высь, И там все параллельные его пересеклись. Имеются и более современные свидетельства. Каждое утро по будням, между 9 и 11 часами, на “Эхе Москвы” идёт интерактивная программа “Разворот”. 15 февраля 2006 года в рамках этой программы слушателям предлагалось выразить своё отношение к идее провести в Москве парад геев. Ведущий Алексей Венедиктов, беседуя с очередным слушателем, призывал его к толерантности и к признанию права каждого иметь свою собственную точку зрения. Происходил такой диалог: “Венедиктов. Вот вы скажите, параллельные прямые пересекаются? Слушатель. Нет. Венедиктов. А вот у Лобачевского пересекаются, там другая система отсчёта”. Правда, как известно, у каждого своя, но истина одна. Истина состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются даже у Лобачевского. Природа мифологического представления об открытии Лобачевского понятна: все знают, что в его геометрии происходит что-то необычное с параллельными прямыми; а что может быть необычнее их пересечения! Поражает всё же степень распространённости этого представления. Впрочем, апологет математики вправе испытать и чувство законного удовлетворения: хоть какие-то серьёзные математические представления, пусть даже ложные, в массовом сознании присутствуют! Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной из школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского - много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово “нельзя” на слово “можно”, и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, например, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить - вот вам наглядное подтверждение наличия прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию - на глаз, конечно, но вся наша проверка и идёт “на глаз”; так подтверждается единственность прямой. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная всегда только одна, невозможно. Мысленно представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, эта точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не оказаться иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать - того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам. Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение, исходя из остальных аксиом, и тем самым как бы понизить статус этого утверждения, переведя его из аксиом в теоремы. Однако все эти попытки проваливались. Как правило, в каждое такое доказательство незаметно проскальзывало какое-нибудь геометрическое утверждение, не вызывающее, казалось бы, никаких сомнений, но на самом деле равносильное аксиоме о параллельных. Например, в “доказательстве” знаменитого французского математика XVIII - XIX веков Лежандра использовалось такое вроде бы невинное предложение: C большим трудом в сознание математиков проникало убеждение, что скорее всего сформулированное в аксиоме о параллельных утверждение вообще нельзя доказать. Осознать это было трудно ещё и потому, что вплоть до самого конца XIX века какой-либо чёткой системы аксиом геометрии вообще не существовало. Для аксиомы о параллельных решающим оказалось третье десятилетие XIX века. В этот период два великих геометра - российский математик Николай Иванович Лобачевский и венгерский математик Янош Бойаи (по-русски часто пишется “Больяй”) - совершенно независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию называют В геометрии Лобачевского много непривычного для нас, воспитанных на евклидовой геометрии. Например: сумма углов треугольника своя у каждого треугольника и притом всегда меньше 180 градусов; если треугольники подобны, то они равны; не бывает треугольников сколь угодно большой площади (это значит, что площадь треугольника не может быть больше некоторого числа, зависящего, разумеется, от выбора единицы площади). Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё же истинна - аксиома Евклида или аксиома Лобачевского. Давайте разберёмся. Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит “истинна”. Казалось бы, ясно: истинна - значит, соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, - одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых - как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч - в меньшей степени шар, чем биллиардный шар или подшипник. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком - все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, то есть то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да даже и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая отшлифованная поверхность лишь приближается к идеальной форме, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света - и тот искривляется в реальном пространстве. Для возникновения же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно - требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, является “Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении”, - писал в 1835 году Лобачевский во вступлении к своему сочинению “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных”. Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем написать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно существуют (если вообще признавать реальное существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на это вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что когда мы говорим о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства. Дело в том, что в геометрии Лобачевского отличие суммы углов треугольника от 180 градусов тем больше, чем длиннее стороны этого треугольника; поэтому чем больше треугольник, тем больше надежды заметить это отличие - и тем самым подтвердить на практике аксиому Лобачевского. Отсюда возникает мысль измерять треугольники с вершинами в звёздах (упомянутый выше Швейкарт употреблял для геометрии, впоследствии предложенной Лобачевским, название Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для ббольших другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли - именно потому, что участок, план которого снимается, небольшой. Поэтому для сравнительно небольших участков разумно исходить из того, что Земля плоская - именно поэтому это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России необходимо учитывать шарообразность Земли, а при тонких расчётах - то, что Земля есть эллипсоид (а точнее - геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам: к положению стрелка и к цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично, евклидова геометрия хорошо работает “в малом”, то есть в доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит “в очень большом”. В рассказе Уэллса “История Платтнера” его герой Готфрид Платтнер претерпевает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в следующей главе нашего очерка. Но что же представляют из себя идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и тому подобные, - отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения: (1) (2) (3) (4) Ни что такое куздры, ни что такое бокры, ни что такое будлать - всё это оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для получения из этих утверждений определённых заключений - то есть таких утверждений, которые непременно являются истинными при условии истинности всех утверждений нашего исходного квартета. Убедимся, например, что (5) Итак, что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты (в данном случае - куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае - отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае - в утверждениях (1) - (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как 1. Отношение 2. Отношение ‘между’, связывающее тройки точек: из трёх точек одна может лежать или не лежать 3-4. Отношение Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, чтбо такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение ‘между’, конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального, физического мира, отражением каковых и служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность одной фигуры быть совмещённой с другой посредством перемещения. На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) - (4) слово “куздра” на слово “точка”, слово “бокр” на слово “прямая”, слово “будлать” на выражение “лежать на”. Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (!4): |
|
|