"Геометрия, Динамика, Вселенная" - читать интересную книгу автора (И. Л. Розенталь)

прямых и убедиться, в отсутствии их пересечения на больших
расстояниях. Однако пятый постулат о параллельных
эквивалентен (в сочетании с другими аксиомами евклидовой
геометрии) утверждению, которое в принципе подвергается
непосредственной проверке. согласно этому утверждению сумма
углов треугольника равна PI. Измерение углов - операция
весьма разработанная, и поэтому проверку этого положения
можно проделать с относительно хорошей точностью.

Уже в первых работах по неевклидовой геометрии было
продемонстрировано, что отклонение суммы углов треугольника
от PI (при отрицании постулата о параллельных)
пропорционально площади треугольника. Поэтому казалось, что
если провести измерения углов достаточно большого
треугольника, то нетрудно проверить истинность (или
ложность) пятого постулата. К сожалению, такой
оптимистический вывод необоснован.

Истоки трудностей предложенного метода проверки
коренятся в принципиальной неопределенности термина "большое
само по себе". В точных науках имеет смысл лишь утверждение:
"большое относительно чего-то". В упомянутом же выше
утверждении отсутствует именно эталон, который вдохнул бы
полноценное содержание в утверждение о сумме углов
треугольника.

Лобачевский и Гаусс (независимо) в своих попытках
проверить евклидову геометрию, по-видимому, исходили из
убеждения, продиктованного античной философией: "человек -
мера всех вещей". Поэтому казалось, что достаточно выбрать
треугольник со сторонами, существенно превышающими размеры
человека. Например, Гаусс измерил сумму углов треугольника
со сторонами, во много раз (10**5) превышающими размеры
человека. В результате измерений оказалось, что в пределах
экспериментальных ошибок сумма углов треугольника равна PI.

Следует четко понимать, что в экспериментальном подходе
в проверку пятого постулата "нет" и "да" весьма
неэквивалентны. Метод, основанный на измерении суммы углов
треугольника, может продемонстрировать отклонение от
евклидовой геометрии, но не может доказать ее абсолютную
справедливость. Действительно. какой бы треугольник в
пределах наблюдаемой части Вселенной мы ни использовали в
качестве образца, всегда можно утверждать, что его площадь
мала, а точность наших приборов недостаточна для обнаружения
отклонений от евклидовой геометрии. Все же известная польза
от опытов Гаусса - Лобачевского (или аналогичных
экспериментов) существует: если и есть отклонения от
евклидовой геометрии, то они малы. Это вывод верен по
крайней мере для масштабов, существенно превышающих