"Algebraische Quantentheorie 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Algebraische Methoden der Quantentheorie

Michael Keyl Institut f"ur Theoretische Physik, Technische Universit"at Berlin, SoSe 97

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Inhaltsverzeichnis 1 Ein motivierendes Beispiel 5

1.1 Die Klein-Gordon-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1.2 Der bosonische Fockraum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.3 Das freie skalare Feld : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 1.4 Wechselwirkung mit klassischen Quellen : : : : : : : : : : : : : : : : 25 1.5 Das van Hove Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35

2 C*-Algebren 39

2.1 Grundlegende Begriffe und Definitionen : : : : : : : : : : : : : : : : 39 2.2 Resolvente und Spektrum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 2.3 Positive Elemente : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 2.4 Darstellungen von C*-Algebren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 2.5 Zust"ande : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54 2.6 Die GNS-Konstruktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 2.7 Abelsche C*-Algebren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60

3 Von Neumannalgebren 63

3.1 Topologien auf B(H) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 3.2 Von Neumannalgebren, elementare Eigenschaften : : : : : : : : : : : 65 3.3 Normale Zust"ande und das Pr"adual : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

4 Die CCR-Algebra 69

4.1 Definition und grundlegende Eigenschaften : : : : : : : : : : : : : : 70 4.2 Regul"are und quasifreie Zust"ande : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 4.3 Bogolubovtransformationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 4.4 Beispiel: Der harmonische Oszillator : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78 4.5 Beispiel: Das freie Skalarfeld : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 4.6 Beispiel: Das Skalarfeld im "ausseren Potential : : : : : : : : : : : : : 84 4.7 Beispiel: Das van Hove Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87

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4 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1 Ein motivierendes Beispiel Bevor wir die Theorie der Operatoralgebren studieren, wollen wir in diesem Kapitel zun"achst genauer diskutieren, warum eine algebraische Formulierung der Quantentheorie von Nutzen sein kann. Zu diesem Zwecke werden wir eine bestimmte Klasse von Modellen aus der Quantenfeldtheorie untersuchen, n"amlich skalare Quantenfelder die mit klassischen Quellen wechselwirken.

Vorbild f"ur dieses Kapitel war der entsprechende Abschnitt im Buch von Emch [Emc72] welches zum Teil die Grundlage f"ur die folgenden Ausf"uhrungen ist (Ich habe jedoch versucht wesentlich ausf"uhrlicher zu sein). Weite Teile der Abschnitte

"uber freie Felder gr"unden sich teilweise auch auf [RS75, X.7].

Bevor wir nun beginnen, m"ochte ich noch darauf hinweisen, dass es sich nicht um eine Vorlesung "uber Quantenfeldtheorie handelt. Das heisst, obwohl in diesem Kapitel ein relativ hoher Grad an Selbstkonsistenz angestrebt ist, kann eine Reihe von Aspekten, die aus Sicht der Quantenfeldtheorie von grosser Wichtigkeit sind, nicht oder nur unzureichend diskutiert werden.

1.1 Die Klein-Gordon-Gleichung Ausgangspunkt soll das freie skalare Feld auf dem Minkowskiraum sein, das heisst wir suchen nach L"osungen der Klein-Gordon-Gleichung

@2 @t2 (t; x) - \Delta (t; x) + m