"Numerische Mathematik II 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

C. W. Cryer Numerische Mathematik II

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Westf"alische Wilhelms-Universit"at

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C. W. Cryer Numerische Mathematik II

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Westf"alische Wilhelms-Universit"at

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Inhaltsverzeichnis 1 Approximation in normierten R"aumen 1

1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Banachr"aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Existenz einer Bestapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Eindeutigkeit der Bestapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Approximieren in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Approximation in C[a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.1 Iterationsmethoden nach Remez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.2 Approximation durch rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Approximation in L1[a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Eigenwertprobleme 19

2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Die Gutartigkeit von Eigenwertproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Das Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Die Potenzmethode (Vektoriteration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Das QR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7.1 Reduktion auf Hessenberg-Gestalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.7.2 Konvergenz des QR-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7.3 Nichtkonvergenz des QR-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7.4 Beschleunigungsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii INHALTSVERZEICHNIS 3 Numerische Integration 49

3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Die Formeln von Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Die direkte Konstruktion von Integrationsformeln . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Die Formeln von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Existenz von Orthogonalpolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Zusammengesetzte Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.7 Praktische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.8 Die Euler-Maclaurin Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.9 Romberg-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.10 Mehrdimensionale Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Gew"ohnliche Differentialgleichungen 87

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.1 Beispiel 1: Der freie Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.2 Beispiel 2: R"auber-Beute Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.3 Beispiel 3: Lineare elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3 Einige analytische L"osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92