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Numerik partieller Differentialgleichungen

Norbert K"ockler

SS 1998 Durchgesehen bis Kapitel 5 einschliesslich!

Inhaltsverzeichnis 1 Einf"uhrung 5

1.1 Grundprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 W"armeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Qualit"at der L"osungen der Grundprobleme . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 PDEs 2. Ordnung; Typeneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Inkorrekt gestellte Probleme (Ill posed problems). . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Variationsmethoden 15

2.1 Variationsansatz f"ur ein Dirichletsches RWP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Das Ritz-Verfahren von 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Regularit"at, Monotonie, 3. RWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Die quasiharmonische 3. RWA im IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Die quasiharmonische PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2 Anwendung: W"armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Die Methode der finiten Elemente (FEM) 31

3.1 Geometrische Konstruktion und Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Elementsteifigkeitsmatrix und -vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Weitere Elemente und Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 Bilineare Ans"atze auf Vierecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.2 Hermitesche FEM-Ans"atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.3 Krummlinig berandete Dreiecke als Elemente . . . . . . . . . . . . . 50 3.4.4 Finite Elemente in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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2 INHALTSVERZEICHNIS

3.4.5 Dreidimensionale finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 "Optimale" Numerierung der Knotenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5.1 Graphentheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.2 Algorithmus von Cuthill/McKee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5.3 Umgekehrter Cuthill/McKee-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5.4 Strategien zur Auswahl des Startknotens . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Die FEM bei instation"aren Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.7 Konvergenz und Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7.1 Lineare FEM im IR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7.2 Fehlerabsch"atzungen f"ur lineare Dreieckselemente . . . . . . . . . . . 74 3.7.3 "Variational Crimes" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Differenzenverfahren 79

4.1 Einf"uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 Differenzenverfahren f"ur elliptische PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81