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Numerik I K. B"ohmer, B. Schmitt

Sommer-Semester 1998

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INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Lineare Gleichungssysteme 7

2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Der Gauss-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

LR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Fehlerausbreitung, Kondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Schranken f"ur ^(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Iterationsverfahren f"ur lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Gesamt- und Einzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Relaxationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Polynom-Interpolation 31

3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Lagrange-Interpolation f"ur Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Newton-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 Entwicklung nach Orthogonalpolynomen, Drei-Term-Rekursionen . . . . . . . . . 39 3.5 Vergleich der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Interpolationsfehler, optimale Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Spline-Funktionen 48

4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 Existenz des Interpolations-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 Konvergenz des Interpolations-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Spline-Darstellungen, Bezi'er-, B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Lokale Spline-Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 INHALTSVERZEICHNIS 5 Numerische Integration und Differentiation 62

5.1 Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2 Newton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3 Gauss-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4 Adaptive Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.5 Richardson-Extrapolation, Romberg-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.6 Numerische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Nichtlineare Gleichungssysteme 78

6.1 Nullstellen einer skalaren Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Bisektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sekantenverfahren, Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Interpolationsverfahren h"oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Newtonverfahren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Rundungsfehler - Analyse 90

7.1 Zahldarstellung und Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.2 Rundungsfehleranalyse einiger Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94