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Making Proof

1 Das Problem ist uralt, um genau zu sein, in Bayreuth ist es in diesem Jahr 20 Jahre alt: U"bungen in Mathematik. Die Rechnungen sind meist kein Problem, jedoch Beweise zu fu"hren ist schon schwieriger - wenn man sie nicht gerade abschreibt; aber wozu studiert man Mathematik, wenn man sich ums Beweisen dru"cken will? Hier fangen die Unsicherheiten an. Einmal ist die Aussage anschaulich vo"llig klar, aber wie beweist man sie? Ein anderes Mal ist die Beweisidee vo"llig klar, aber wie schreibt man sie am besten hin? Und wie kommt man eigentlich auf solche Sa"tze? Welche Sa"tze sind in einer Theorie die wichtigen? Fragen u"ber Fragen, deren Antworten ho"chstens am Rande irgendeiner Vorlesung einmal anklingen. Eigentlich aber sind sie die Quintessenz eines Studiums der Mathematik. Deshalb: Making Proof .

Es gibt aber noch viel pragmatischere Gru"nde, dieses Heft zu lesen. Oftmals mu"ssen die Korrektoren an den missglu"ckten Formulierungen und an fehlender innerer Logik in Lo"sungsversuchen von U"bungsaufgaben verzweifeln - ich weiss das selbst aus eigener Erfahrung. Beweisen ist aber das ta"glich Brot des Mathematikers, und wenn man es richtig anstellt - mir gelingt das oft genug auch nicht - kann dieses Brot das reinste Feinschmeckermenu werden. Dafu"r gibt es einige Kniffs, Tricks und Tips, die ich hier vorstellen mo"chte.

Ausserdem macht es einfach Spass, nach getaner Arbeit einmal u"ber seine Arbeit - die Mathematik - nachzudenken. Dabei sieht man dann doch (manchmal nicht ganz so ernst gemeinte) Gesetzma"ssigkeiten.

Also: es fu"hrt kein Weg mehr an Making Proof vorbei. Viel Spass beim Lesen wu"nscht Euch

Marco

Inhaltsverzeichnis 1 Psychologie des Beweises 3

1.1 Sinn und Bedeutung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2 Axiom und Definition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.3 Die Logische Elementarform : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1.4 Zeit in der Logik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1.5 Ausdruckshierarchien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

1.5.1 Lemmata (Hilfssa"tze) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.5.2 Korollare : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.5.3 Folgerungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.5.4 Bemerkungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.5.5 Beispiele : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.6 Logische Kausalita"t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.7 Erlaubte Symbole : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.8 Mathematische Diplomatie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

2 Ha"ufige Satzstrukturen 12

2.1 A"quivalenztabellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 2.2 Existenzsa"tze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 2.3 Eindeutigkeitssa"tze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 2.4 Universelle Eigenschaft : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.5 Klassifikationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

3 Ha"ufige Beweisstrukturen 17

3.1 Abbildungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 3.2 Induktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 3.3 Widerspruch : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 3.4 Konstruktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 3.5 " und Diagonalfolge : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 3.6 Idee : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

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Kapitel 1 Psychologie des Beweises How to make others believe to know something

Das erste, woru"ber wir uns klar werden sollten, ist, was eigentlich ein Beweis ist. Dazu mu"ssen wir wissen, was wir eigentlich beweisen wollen. Das ist immer ein Satz, z.B. "Das Wetter ist scho"n",

"Die Wiese ist gru"n", "Der Professor ist blau" etc. Dies sind aber (offensichtlich) keine Sa"tze derMathematik - auch, wenn im letzten Satz ein Mathe-Prof gemeint ist.

"x ist genau dann Primzahlund gerade, wenn x=2 ist" ist sicherlich ein mathematischer Satz. Aber woran erkennen wir den

Unterschied zwischen einem Satz und einem mathematischen Satz? Man ko"nnte meinen, nur in mathematischen Sa"tzen ka"men Variablen vor. Dann ist aber zu fragen, was eine Variable ist und warum dann zum Beispiel "x redet schon wieder schlecht u"ber y" kein mathematischer Satz ist. Aus der analytischen Philosophie kommt eine Idee, der wir uns bedienen ko"nnen, um die mathematischen Sa"tze (und damit die Mathematik) zu definieren.