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MANNIGFALTIGKEITEN: EIN STEILKURS

Werner Ballmann Nach der Mitschrift von Michael Meyer. Korrektur gelesen von Alexander Lytchak, Anna Pratoussevitch, Dorothee Sch"uth und Juan Souto.

1. Mannigfaltigkeiten und glatte Abbildungen Eine m-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff-Raum M mit abz"ahlbarer Basis der Topologie, so dass es zu jedem p 2 M eine offene Umgebung U von p in M und einen Hom"oomorphismus x : U ! U 0 auf eine offene Teilmenge U 0 ae Rm gibt. Einen solchen Hom"oomorphismus x nennen wir eine Karte von M und den Definitionsbereich U von x nennen wir das Kartengebiet von x. Manchmal nennen wir auch das Tupel (x; U ) eine Karte. Eine Menge A = f(xff; Uff) j ff 2 Ag von Karten von M heisst Atlas von M , wenn Sff2A Uff = M ist.

Sei jetzt M eine topologische Mannigfaltigkeit. Ein Atlas A = f(xff; Uff) j ff 2 Ag von M heisst C1-Atlas, wenn die Kartenwechsel

xfi ffi x\Gamma 1ff : xff(Uff " Ufi) ! xfi (Uff " Ufi) f"ur alle ff; fi 2 A glatt, d.h. unendlich oft differenzierbar sind. "Aquivalent hierzu k"onnen wir verlangen, dass die xfi ffi x\Gamma 1ff glatte Diffeomorphismen sind.

Sei nun A = f(xff; Uff) j ff 2 Ag ein C1-Atlas von M . Wir nennen eine Karte x : U ! U 0 von M mit A vertr"aglich, wenn alle Kartenwechsel

xff ffi x\Gamma 1 : x(U " Uff) ! xff(U " Uff); ff 2 A; glatte Diffeomorphismen sind. Die Menge S der mit A vertr"aglichen Karten ist ein maximaler C 1-Atlas und enth"alt A (Kettenregel). Umgekehrt enth"alt nat"urlich jeder maximale C1-Atlas alle mit ihm vertr"aglichen Karten. Einen maximalen C 1-Atlas nennen wir auch eine differenzierbare Struktur f"ur M .

Eine (glatte) Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer differenzierbaren Struktur S. Eine (glatte) Karte einer glatten Mannigfaltigkeit M ist eine Karte von M , die zur differenzierbaren Struktur von M geh"ort.

Wie oben erkl"art wurde, bestimmt ein C 1-Atlas kanonisch eine differenzierbare Struktur. In Beispielen gen"ugt es daher, einen C 1-Atlas zu bestimmen.

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1.1 Beispiele. 1) M = Rm, A = f(id; Rm)g.

2) Sei V ein m-dimensionaler Vektorraum "uber R mit der kanonischen Topologie. Zu einer Basis B = (b1; : : : ; bm) von V erkl"aren wir eine Karte xB : V ! Rm durch xB (v) = u, falls v = Pmi=1 uibi. Dann ist A = f(xB ; V ) j B Basis von V g ein C 1-Atlas von V .

3) F"ur die Sph"are Smr = fx 2 Rm+1 j x20 + \Delta \Delta \Delta + x2m = r2g mit Radius r sind die stereographischen Projektionen pN vom Nordpol N = (r; 0; : : : ; 0) und pS vom S"udpol S = (\Gamma r; 0; : : : ; 0) aus ein Atlas. Die jeweiligen Kartengebiete sind UN = Smr n fN g bzw. US = Smr n fSg. In Formeln sind pN und pS gegeben durch

pN (x) = rr \Gamma x

0 (x1; : : : ; x

m); pS (x) = rr + x0 (x1; : : : ; xm):

Der Atlas f(pN ; UN ); (pS ; US )g ist C1.

4) Die projektiven R"aume KP n mit K 2 fR; C ; H g. Nach Definition ist KP n die Menge der eindimensionalen K-linearen Unterr"aume des Kn+1. Ein Punkt L in KP n ist somit festgelegt durch seine homogenen Koordinaten L = [x0; : : : ; xn], wobei (x0; : : : ; xn) ein Vektor in L n f0g ist. Auf den Mengen

Ui = f[x0; : : : ; xn] 2 KP n j xi 6= 0g; 1 ^ i ^ n; definieren wir Bijektionen