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DIFFERENTIALGEOMETRIE VORLESUNG IM WINTERSEMESTER 1996/97

an der Eberhard-Karls-Universit"at T"ubingen

Richard B"odi



Inhalt 1. Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Fl"achen I, Die erste Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5. Fl"achen II, Die zweite Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6. Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7. Fl"achen III, Struktur der zweiten Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8. Exponentialabbildung und Kr"ummungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92



Kapitel 1: Kurven 1 KAPITEL 1 Kurven

Alle differenzierbaren Abbildungen sollen, sofern nichts Gegenteiliges vorausgesetzt wird, stets unendlich oft differenzierbar sein. Als Synonym f"ur "unendlich oft differenzierbar" werden wir auch glatt verwenden.

(1.1) Definition. Eine Abbildung c : [a, b] ! Rn heisst glatt, wenn es eine glatte Fortsetzung ~c : (a - ", b + ") ! Rn von c gibt. Eine glatte Abbildung c : [a, b] ! Rn heisst (parametrisierte) Kurve. Der Punkt c(a) heisst Anfangspunkt, der Punkt c(b) heisst Endpunkt der Kurve c. Dei Kurve c heisst geschlossen, falls c(a) = c(b) f"ur alle n >= 0 gilt. Die Kurve c heisst einfach, falls c injektiv ist. Die Menge S(c) = {c(t) | t 2 [a, b]} heisst Spur der Kurve c.

Ist c : [a, b] ! Rn eine parametrisierte Kurve, so gibt es zu jedem t0 2 [a, b] eine lineare Abbildung Lt0 : R ! Rn, die Ableitung von c im Punkt t0. Lineare Abbildungen von R nach Rn haben stets die Form t 7! t * v0 mit v0 2 Rn. Wir nennen den Vektor c0(t0) := v0 den Tangentialvektor von c im Punkt t0. Dieser repr"asentiert die Ableitung Lt0 von c im Punkt t0.

(1.2) Definition. Eine parametrisierte Kurve c : [a, b] ! Rn heisst regul"ar, falls c0(t) 6= 0 f"ur alle t 2 (a, b) gilt.

(1.3) Beispiele. (a) Die Kurve c1 : [0, 1] ! R2 : t 7! 2t(1, 0) + t(0, 1) ist einfach und regul"ar. Die Spur von c1 ist ein Geradenst"uck. (~a) Die Kurve ~c1 : [0, 2] ! R2 : t 7! t(1, 0) + 12 t(0, 1) hat dieselbe Spur wie die Kurve c1. (b) Die Kurve c2 : [0, 2ij] ! R2 : t 7! cos t(1, 0) + sin t(0, 1) ist regul"ar und geschlossen, aber nicht einfach. Die Spur von c2 ist der Einheitskreis in R2. (c) Die Kurve c3 : [-1, 1] ! R2 : t 7! t2(1, 0) ist weder einfach noch regul"ar. (d) Die Kurve c4 : [-2ij, 2ij] ! R3 : t 7! cos t(1, 0, 0) + sin t(0, 1, 0) + t(0, 0, 1) ist einfach und regul"ar. Die Spur von c4 ist eine Schraubenlinie.

Die Kurven aus Beispiel (a) und (~a) sind bis auf die "Durchlaufgeschwindigkeit" gleich. Wir definieren deshalb:



2 Kapitel 1: Kurven (1.4) Definition. Zwei parametrisierte Kurven c1 : [a1, b1] ! Rn und c2 : [a2, b2] ! Rn heissen "aquivalent, in Zeichen c1 z. c2, falls es eine glatte Funktion ' : [a2, b2] ! [a1, b1] gibt mit '(a2) = a1, '(b2) = b1 und '0(t) > 0 f"ur alle t 2 [a2, b2], so dass c2 = c1 s' ' gilt. Die Abbildung ' wird Parameterwechsel genannt.

Wegen ('-1)0(t) = 1'0('-1(t)) > 0 ist die Relation z. symmetrisch; sie ist sogar eine "Aquivalenzrelation auf der Menge aller parametrisierten Kurven in Rn. Bei Parameterwechsel bleibt die Regularit"at erhalten, denn es ist c02(t) = c01('(t)) * '0(t) 6= 0. Ebenso bleiben Spur, Einfachheit und Geschlossenheit einer Kurve invariant. Die Tangentialvektoren von c1 bzw. von c2 in den Punkten t bzw. '(t) unterscheiden sich nur um ein skalares positives Vielfaches (n"amlich um '0(t)), d.h. sie unterscheiden sich nur in der L"ange, nicht aber in der Richtung.

(1.5) Definition. Eine "Aquivalenzklasse r^ von regul"aren Kurven heisst (unparametrisierte) Kurve. Die Elemente der Klasse r^ werden Parametrisierungen von r^ genannt.