"Differentialgeometrie 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора



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er Mathematiker ab-C'rahiert gL^nzliE^ von der BesE^aD^enheit derGegenC'L^nde und dem Inhalt ihrer Relationen. Er hateNG bloj mit der AbzL^hlung und VergleiE^ung der Relationen untersiE^ zu tun.

C. F. Gauj

Differentialgeometrie

Prof. H. Kerner

Mitschrift vom Sommersemester 1991

Bearbeitet von Walter D"orwald, Andreas Gassner und Helmut Hahn.

Getippt von Andreas Gassner mit TEX und LaTEX.

Inhalt:

I Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Bogenl"ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Kr"ummung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Die Fr'en'etschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Der Umlaufsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II Fl"achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Fl"achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Die erste Fundamentalform einer Fl"ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8 Kr"ummung von Fl"achenkurven und die zweite Fundamentalform . . . . . . . 43 9 Die Gausssche Kr"ummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 10 Gaussabbildung, Weingarten-Abbildung und zweiter Fundamentaltensor . . . . 58 11 Isometrische Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 12 Das Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 13 Die Ableitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 14 Der Riemannsche Kr"ummungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 15 Die geod"atische Kr"ummung (Seitenkr"ummung) . . . . . . . . . . . . . . . 76 16 Geod"atische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 17 Die covariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 18 Der Satz von Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 19 Das covariante Differential und der Riemannsche Kr"ummungstensor . . . . . 95

III Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

20 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 21 Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Anhang A: Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Anhang B: Das Differential einer differenzierbaren Abbildung . . . . . . . . . . 107 Anhang C: Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Anhang D: Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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I Kurven 1 Bogenl"ange Im folgenden sei I ein Intervall, I = [a; b] ae IR und differenzierbar bedeute beliebig oft differenzierbar.