"Eine kleine Masstheorie 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Eine kleine Masstheorie Borelmasse auf lokalkompakten, separablen und metrisierbaren R"aumen

Hellmut Baumg"artel

4. Mai 1998

Vorbemerkung Bei der Konzeption einer Vorlesungsreihe "uber Masstheorie, zumal wenn sie Teil eines Analysis-Kurses sein soll, stellt sich die Frage, ob das Schwergewicht auf der "Abstrakten Masstheorie" liegen soll, womit dann den Anforderungen z.B. auch aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Rechnung getragen w"urde, oder ob man eher den Schwerpunkt auf die sogenannten "Topologischen Masse" legen, also die Verkn"upfung von Mass und Topologie in den Vordergrund stellen sollte.

Denn w"ahrend es z.B. in den Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig ist, Masse zu betrachten, deren zugeh"origer Borelk"orper vom Mass abh"angen kann, kommt es f"ur die Anwendungen in der Analysis eher darauf an, sehr unterschiedliche Masse zu betrachten, die aber einunddenselben Borelk"orper besitzen, und zwar den, der mit der Topologie des Grundraumes kanonisch verkn"upft ist.

Ein weiterer Gesichtspunkt ist nat"urlich der, eine solche "erste Ann"aherung" an die Masstheorie aus der Perspektive der Analysis nicht durch zu viele Besonderheiten und Komplikationen zu un"ubersichtlich werden zu lassen.

Des weiteren soll im Rahmen eines solchen "essentiellen Bestands" der Masstheorie die Lebesgue'sche Integrationstheorie entwickelt werden, unter anderem um Vorbereitungen f"ur die Zwecke der Funktionalanalysis zu treffen.

Bekanntlich k"onnen diese W"unsche bzw. Bedingungen erf"ullt werden, wenn man sich auf die Masstheorie auf lokalkompakten separablen metrisierbaren R"aumen beschr"ankt, wobei der Borelk"orper kanonisch durch die Topologie gegeben ist. Da dann Borel- und Baire-Masse zusammenfallen, wird die Theorie aus masstheoretischer Sicht schon einfacher, auf der anderen Seite bereichern die topologischen Eigenschaften der Masse die Theorie.

Dieser Standpunkt wird z.B. in dem Standardwerk von J.Dieudonn'e [2, p. 111 ff.] eingenommen, w"ahrend das klassische und un"ubertroffene Lehrbuch von P.Halmos [3] die "Abstrakte Masstheorie" zum Hauptgegenstand hat.

Allerdings stellt Dieudonn'e die Definition des Masses als Linearform auf einem Raum (stetiger) Funktionen auf dem Grundraum an die Spitze. Diese Definition braucht sozusagen als "Medium" den Funktionsbegriff, was nicht ganz nat"urlich erscheint, wenn man von der intuitiven Vorstellung des

"Ausmessens einer Menge" ausgeht. Der Zusammenhang mit der intuitiven Massvorstellung wird beidieser Definition erst durch die nachfolgende Entwicklung hergestellt.

Einen kurzen Abriss der historischen Entwicklung von Mass- und Integrationstheorie findet man in J. Dieudonn'e [1, p. 698-707].

Die folgende Darstellung versucht, den o.g. W"unschen bzw. Bedingungen Rechnung zu tragen, aber indem von der intuitiven Vorstellung des Masses ausgegangen wird. M.a.W. das Ziel diese Kurses kann so beschrieben werden:

- Masstheorie auf der Klasse der lokalkompakten, separablen und metrisierbaren R"aume, also auf einer

Klasse von topologischen R"aumen, die sehr h"aufig in den Anwendungen in der Analysis vorkommen, die eine "einfache" Darstellung der Theorie zulassen, aber bereits die wesentliche Struktur - auch einer Masstheorie ohne Topologie - erkennen lassen.

1

2

- Masstheorie, die die intuitive Vorstellung des "Ausmessens einer Menge" als Ausgangspunkt nimmt. - Masstheorie zur Vorbereitung eines Kurses in Funktionalanalysis. - Masstheorie ohne besondere Ber"ucksichtigung der speziellen Erfordernisse der

Wahrscheinlichkeitstheorie.