"Funktionentheorie 001.ps.gz" - читать интересную книгу автора

Prof. Dr. K. Mathiak Funktionentheorie

Braunschweig, Juni 1994

Prof. Dr. K. Mathiak Technische Universit"at Braunschweig Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie Pockelsstrasse 14 D-38106 Braunschweig

Dieses Skript wurde mit dem Makropaket AZ-LATEX 2" erstellt. Satz: Frank Rump

L"uder Elbrecht Prof. Dr. K. Mathiak, Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie Dr. Wolfgang Oelke, Institut f"ur Algebra und Zahlentheorie

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Komplexe Zahlen 5 Kapitel 2. M"obius-Transformationen 9 Kapitel 3. Differentiation 17 Kapitel 4. Integration 27 Kapitel 5. Die Umlaufzahl 37 Kapitel 6. Der Cauchysche Integralsatz 47 Kapitel 7. Unendliche Reihen 59 Kapitel 8. Laurentreihen 73 Kapitel 9. Der Residuensatz 81 Kapitel 10. Nullstellen und Pole 89 Kapitel 11. Unendliche Produkte 95 Kapitel 12. Der Produktsatz von Weierstrass 101 Kapitel 13. Meromorphe Funktionen 111 Kapitel 14. Analytische Fortsetzung 119 Kapitel 15. Konforme Abbildungen 125 Kapitel 16. Harmonische Funktionen 129 Kapitel 17. Das Maximumprinzip 135 Kapitel 18. Der Riemannsche Abbildungssatz 143 Literaturverzeichnis 149 Index 150

3

KAPITEL 1 Komplexe Zahlen

Es sei C = IR \Theta IR = f(a; b) j a; b 2 IRg die Menge der Paare reeller Zahlen.

Satz 1.1. C ist bez"uglich der Verkn"upfungen

(a1; b1) + (a2; b2) = (a1 + a2; b1 + b2)

(a1; b1) \Delta (a2; b2) = (a1a2 \Gamma b1b2; a1b2 + a2b1)

ein K"orper.

Beweis. Man zeigt leicht, dass C ein kommutativer Ring ist. Ferner ist (1; 0) Einselement. Ist (a; b) 6= (0; 0), also a2 + b2 6= 0, so gilt

(a; b) \Delta ` aa2 + b2 ; \Gamma ba2 + b2 ' = (1; 0): Folglich ist (a; b) invertierbar.

Unter der Addition und der Verkn"upfung

c \Delta (a; b) = (c a; c b) ist C ein 2-dimensionaler Vektorraum "uber IR. Die Elemente 1 = (1; 0) und i = (0; 1) bilden eine Basis von C. Jedes Element aus C besitzt die Darstellung

z = (a; b) = a (1; 0) + b (0; 1) = a + b i: Es gilt

i2 = (0; 1)2 = (\Gamma 1; 0) = \Gamma 1