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Fourier-Analysis I

Skript1

Prof. Nessel Wintersemester 1996/97

1LATEX-Fassung von V. Elling

Glossar Fourier-Analysis I Version 0.5, 10.7.1997 Hallo Leser, ich habe das hier geTEXt, weil ich in Fourier-Analysis eine m"undliche Pr"ufung mache und es sich mit einem gedruckten Skript besser lernt als mit Mitschriften. Es ist nicht autorisiert oder probegelesen, es enth"alt also wahrscheinlich zahllose Tippfehler! Das Skript umfasst in dieser Version alle Kapitel von Fourier-Analysis I und II. Nur Kapitel I(a) ist unvollst"andig (es geht nur um Grundlegendes zu Hilbert-R"aumen, siehe einschl"agige FunkAna-B"ucher). Ausserdem sind die meisten Beweise jetzt drin ("achz). Die Bemerkungen zwischen den S"atzen und Definitionen sind teilweise noch unvollst"andig.

Kommentare und Fehlerhinweise bitte an volker.elling@post.rwth-aachen.de.

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Glossar Fourier-Analysis I Inhaltsverzeichnis 1 Fourier-Reihen (eindimensional) 4

I.a Orthogonalentwicklungen im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.b (Trigonometrische) Fourier-Reihen im L22ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.c Erweiterung der Definitionen und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.d Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.e Konvergenzs"atze f"ur Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 I.f Divergenzaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.g Singul"are Integrale und Umkehrformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 I.h Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Fourier-Transformation in L1(Rn) 50

II.a Definition und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 II.b Singul"are Integrale und Umkehrformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 II.c Poisson-Summationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 II.d Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 II.e Fourier-Transformation "uber s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3 Fourier(-Plancherel)-Transformation in L2(Rn) und Lp(Rn) (1 ! p ! 2) 96

III.a Der Fall p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 III.b Interpolationssatz von Riesz-Thorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 III.c Der Fall 1 ! p ! 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Temperierte Distributionen 124

IV.a Der Grundraum s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 IV.b Der Raum s0 der temperierten Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 IV.c Fourier-Transformation "uber s0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5 Multiplikatoren 153

V.a Definitionen; ein grundlegender Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 V.b Allgemeine Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 V.c Charakterisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 V.d Notwendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

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I.a Orthogonalentwicklungen im Hilbertraum Glossar Fourier-Analysis I Kapitel 1 Fourier-Reihen (eindimensional)