"25 этюдов о шифрах" - читать интересную книгу автора
3.6. Открытое распределение ключей
Кроме принципа построения криптосистемы с открытым ключом, Диффи и Хеллмэн в той же работе предложили еще одну новую идею — открытое распределение ключей. Они задались вопросом: можно ли организовать такую процедуру взаимодействия абонентов A и B по открытым каналам связи, чтобы решить следующие задачи:
1) вначале у A и B нет никакой общей секретной информации, но в конце процедуры такая общая секретная информация (общий ключ) у A и B появляется, т.е. вырабатывается;
2) противник, который перехватывает все передачи информации и знает, что хотят получить A и B, тем не менее не может восстановить выработанный общий ключ A и B.
Диффи и Хеллмэн предложили решать эти задачи с помощью функции F(x) = #945;x(modp), где p — большое простое число, x — произвольное натуральное число, #945; — некоторый примитивный элемент поля GF(p).
Примитивным называется такой элемент a из GF(p), что каждый элемент поля, за исключением нуля, может быть представлен в виде степени a. Можно доказать, хотя это и не просто, что примитивный элемент всегда существует.
Общепризнано, что инвертирование функции #945;x(modp), т.е. дискретное логарифмирование, является трудной математической задачей (см. этюд 3.4).
Сама процедура или, как принято говорить, протокол выработки общего ключа описывается следующим образом.
Числа p и #945; считаются общедоступными.
Абоненты A и B независимо друг от друга случайно выбирают по одному натуральному числу — скажем x(A) и x(B). Эти элементы они держат в секрете. Далее каждый из них вычисляет новый элемент:
y(A)=#945;x(A)(modp), y(B)=#945;x(B)(modp).
Потом они обмениваются этими элементами по каналу связи. Теперь абонент A, получив y(B) и зная свой секретный элемент x(A), вычисляет новый элемент
y(B)x(A)(modp)=(#945;x(B))x(A)(modp).
Аналогично поступает абонент B:
y(A)x(B)(modp)=(#945;x(A))x(B)(modp).
Из свойств поля следует, что тем самым у A и B появился общий элемент поля, равный #945;x(A)x(B). Этот элемент и объявляется общим ключом A и B.
Из описания протокола видно, что противник знает p, #945;, #945;x(A), #945;x(B), не знает x(A) и x(B) и хочет узнать ax(A)x(B). В настоящее время нет алгоритмов действий противника, более эффективных, чем дискретное логарифмирование, а это — трудная математическая задача. (Рекомендуем самостоятельно найти за противника общий ключ, используя алгоритм дискретного логарифмирования и не принимая во внимание вопросы его сложности.)
