"Трудная задача (сборник)" - читать интересную книгу автора (Порджес Артур, Хайнлайн Роберт, Кларк Артур,...)

Мартин Гарднер Нульсторонний профессор

Долорес, стройная черноволосая звезда чикагского ночного клуба «Пурпурные шляпы», замерла в самом центре танцевальной площадки и под едва слышный аккомпанемент оркестра, наигрывавшего какую-то восточную мелодию, начала танец живота, исполняя свой знаменитый номер «Клеопатра». В зале было совсем темно, и только сверху на нее падал изумрудный луч прожектора, поблескивая на воздушном «египетском костюме» и гладких бедрах танцовщицы.

Первым должно было упасть прозрачное покрывало, ниспадавшее с головы и закрывавшее плечи Долорес. Еще мгновение, и Долорес изящным жестом сбросила бы покрывало, как вдруг откуда-то сверху донесся громкий звук, похожий на выстрел, и с потолка головой вниз свалился обнаженный мужчина.

Поднялся невероятный переполох.

Метрдотель Джейк Боуэрс приказал дать свет и попытался успокоить зрителей. Управляющий клубом, стоявший у оркестра и наблюдавший за представлением, набросил на распростертую фигуру скатерть и перекатил ее на спину.

Незнакомец тяжело дышал и был без сознания, вероятно из-за сильного удара, но на теле его не было никаких повреждений. Ему было далеко за пятьдесят. Бросались в глаза короткая, тщательно подстриженная рыжая борода и усы. Незнакомец был совершенно лыс и по сложению напоминал профессионального борца.

Лишь с большим трудом трем официантам удалось перенести его в кабинет управляющего. Зрительный зал волновался, а дамы были на грани истерики. Изумленно тараща глаза то на потолок, то друг на друга, они горячо обсуждали, откуда и каким образом мог упасть незнакомец. Единственная гипотеза, не чуждая здравому смыслу, состояла в том, что тело было подброшено высоко в воздух откуда-то сбоку от танцевальной площадки. Впрочем, никто из присутствовавших в зале не видел, как это произошло.

Тем временем в кабинете управляющего бородатый незнакомец пришел в себя. По его утверждению, он был доктором Станиславом Сляпенарским, профессором математики Венского университета, прибывшим по приглашению для чтения лекций в Чикагском университете.

Прежде чем продолжить этот удивительный рассказ, считаю своим долгом предуведомить читателя, что я не был очевидцем описанного эпизода и полагаюсь всецело на интервью с метрдотелем и официантами. Тем не менее мне посчастливилось принять участие в цепи необычайных событий, которые и привели к скандальному появлению профессора, наделавшему столько шума.

События эти начались за несколько часов до того, как члены общества «Мебиус» собрались на свой ежегодный банкет в одной из укромных столовых на втором этаже клуба «Пурпурные шляпы». Общество «Мебиус» — небольшая, малоизвестная чикагская организация математиков, работающих в области топологии — одного из самых молодых и бурно развивающихся разделов современной математики. Чтобы события, разыгравшиеся в тот памятный вечер, стали вам более понятны, уместно совершить здесь краткий экскурс в топологию.

Объяснить человеку, далекому от математики, что такое топология, довольно трудно. Можно сказать, что топология занимается изучением тех свойств фигур, которые сохраняются независимо от того, как деформируется фигура.

Представьте себе бублик из податливой, но необычайно прочной резины, который вы можете как угодно крутить, сжимать и растягивать в любом направлении. Независимо от того, как деформирован такой бублик, некоторые его свойства остаются неизменными. Например, в нем всегда есть дыра.

В топологии бублик принято называть тором. Соломинка, через которую вы пьете коктейли или прохладительные напитки, тоже тор, только вытянутый. С точки зрения топологии бублик и соломинка ничем не отличаются.

Топологию не интересуют свойства фигур, связанные с длиной, площадью, объемом и тому подобными количественными характеристиками. Она занимается изучением наиболее глубоких свойств фигур и тел, которые остаются неизменными при самых чудовищных деформациях, без разрывов и склеиваний. Если бы тела и фигуры разрешалось разрывать и склеивать, то любое тело сколь угодно сложной структуры можно было бы превратить в любое другое тело с какой угодно структурой, и все первоначальные свойства были бы безвозвратно утрачены. Поразмыслив немного, вы поймете, что топология занимается изучением самых простых и в то же время самых глубоких свойств, какими только обладает тело.

Чтобы пояснить суть дела, приведем типичную топологическую задачу. Представьте себе поверхность тора, сделанную из тонкой резины, наподобие велосипедной камеры. Предположим, что в стенке тора проколота крохотная дырочка. Можно ли через эту дырочку вывернуть тор наизнанку, как выворачивают велосипедную камеру? Решить эту задачу «в уме», руководствуясь только своим пространственным воображением, — дело нелегкое.

Хотя еще в восемнадцатом веке многие математики бились над решением отдельных топологических задач, начало систематической работы в области топологии было положено Августом Фердинандом Мебиусом, немецким астрономом, преподававшим в Лейпцигском университете в первой половине прошлого века. До Мебиуса все думали, что у любой поверхности две стороны, как у листа бумаги. Именно Мебиус совершил обескураживающее открытие: если взять полоску бумаги, перекрутить ее на полоборота, а концы склеить, то получится односторонняя поверхность, обладающая не двумя, а однойединственной стороной!

Если вы возьмете на себя труд изготовить такую полоску (топологи называют ее листом Мебиуса) и тщательно присмотритесь к ее «устройству», вы сможете убедиться, что у нее действительно лишь одна сторона и один край.

Трудно поверить, что такое вообще может быть, но односторонняя поверхность действительно существует — реальная, осязаемая вещь, которую каждый может построить в один миг. В том, что у листа Мебиуса есть лишь одна сторона, сомневаться не приходится, и это свойство он сохраняет, как бы вы ни растягивали и ни деформировали его.

Но вернемся к нашей истории. Я преподавал математику в Чикагском университете и защитил докторскую диссертацию по топологии, поэтому мне без особого труда удалось вступить в общество «Мебиус». Нас было не очень много — всего лишь двадцать шесть человек, главным образом чикагских топологов, но некоторые члены общества работали в университетах соседних городов.

Мы устраивали ежемесячные заседания, носившие сугубо академический характер, но раз в году — 17 ноября (в день рождения Мебиуса) — собирались на банкет и приглашали в качестве гостя какого-нибудь знаменитого тополога, который выступал с лекцией.

Не обходилось на наших банкетах и без развлечений. Но в нынешнем году с фондами у нас было туговато, и мы решили отпраздновать годовщину патрона нашего общества в «Пурпурных шляпах», где цены были вполне умеренные, а после лекции можно было спуститься в зал и посмотреть программу варьете. С гостем нам повезло: наше приглашение принял знаменитый профессор Сляпенарский, первый тополог мира и один из величайших математических гениев нашего века.

Профессор Сляпенарский пробыл в Чикаго несколько недель, читая в университете курс лекций по топологическим аспектам теории относительности Эйнштейна. Я имел с ним несколько бесед на профессиональные темы в университете, мы подружились, и я пригласил его на банкет.

В «Пурпурные шляпы» мы поехали вместе на такси, и по дороге я попросил его рассказать в общих чертах то, о чем он собирался говорить на лекции. Но Сляпенарский в ответ только улыбнулся и посоветовал запастись терпением, благо ждать осталось совсем недолго. Тема лекции «Нульсторонние поверхности» вызвала среди членов общества «Мебиус» такие оживленные толки, что даже профессор Роберт Симпсон из Висконсинского университета письменно уведомил правление о своем намерении прибыть на банкет. Ни на одном заседании в этом году профессор Симпсон присутствовать не соизволил!

Нужно сказать, что профессор Симпсон считался признанным авторитетом по топологии на Среднем Западе и был автором нескольких важных работ по топологии и теории поля, в которых выступал с резкими нападками на основные тезисы теории Сляпепарского.

Мы прибыли вовремя. После того как наш почетный гость был представлен профессору Симпсону и другим членам общества, мы сели за стол. Я обратил внимание Сляпенарского на традицию оживлять наши банкеты мелкими деталями, выдержанными в «топологическом духе». Например, серебряные кольца для салфеток были выполнены в форме листов Мебиуса. К кофе подавали специально испеченные бублики, а кофейник был изготовлен в виде «бутылки Клейна».

После обеда за десертом нам подали эль от Баллантайна и крендельки, испеченные в форме двух разновидностей тройного узла, переходящих друг в друга при зеркальном отражении (выбор устроителей банкета пал на эль из-за торговой марки этого напитка: трех сцепленных колец, распадающихся, если убрать какое-либо из них). Сляпенарского позабавили эти топологические безделушки, и он высказал немало предложений на будущее, слишком сложных, чтоб объяснять их здесь.

После моего краткого вступительного слова Сляпенарский встал, поблагодарил присутствующих улыбкой за аплодисменты и откашлялся. В столовой мгновенно наступила тишина. Читатель уже представляет наружность профессора — его внушительную фигуру, рыжеватую бороду и сверкающую голову без единого волоска. В выражении лица Сляпенарского была какая-то особая многозначительность, показывающая, что нам предстоит узнать из его лекции нечто весьма важное, пока известное лишь ему одному.

Изложить сколь-нибудь подробно блестящий, но доступный пониманию только специалистов доклад Сляпенарского вряд ли возможно. Суть его сводилась к следующему. Лет десять назад Сляпенарский наткнулся в одном из менее известных трудов Мебиуса на утверждение, поразившее его воображение. По словам Мебиуса, теоретически не существовало причин, по которым поверхность не могла бы утратить обе свои стороны, то есть, иными словами, стать «нульсторонней».

Разумеется, пояснил профессор, такую поверхность невозможно представить себе наглядно, также как квадратный корень из минус единицы или гиперкуб в четырехмерном пространстве. Но абстрактность понятия отнюдь не означает, что оно лишено смысла или не может найти применения в современной математике и физике.

Не следует забывать и о том, продолжал профессор, что те, кто никогда не видел лист Мебиуса и не держал его в руках, не могут представить себе даже одностороннюю поверхность. Немало людей с хорошо развитым математическим воображением отказываются верить в существование односторонней поверхности, даже когда лист Мебиуса у них в руках.

Я взглянул на профессора Симпсона, и мне показалось, что при этих словах он чуть заметно улыбнулся.

На протяжении многих лет, продолжал Сляпенарский, он упорно стремился построить нульстороннюю поверхность. По аналогии с известными типами поверхностей ему удалось изучить многие свойства нульсторонней поверхности. Наконец долгожданный день настал. Сляпенарский выдержал паузу, чтобы посмотреть, какое впечатление его слова произвели на слушателей, и окинул взглядом замершую аудиторию. Наконец настал день, когда его усилия увенчались успехом, и он построил нульстороннюю поверхность.

Подобно электрическому разряду, его слова обежали сидевших за столом. Каждый встрепенулся, удивленно посмотрел на соседа и уселся поудобнее. Профессор Симпсон яростно затряс головой. Когда Сляпенарский отошел в дальний конец столовой, где была приготовлена классная доска, Симпсон повернулся к соседу слева и шепнул: «Чушь несусветная! Либо Сляппи совсем спятил с ума, либо он просто вздумал подшутить над нами».

Мне кажется, что мысль о розыгрыше пришла в голову многим из присутствовавших. Я видел, как некоторые из них недоверчиво улыбались, пока профессор вычерчивал на доске сложные схемы.

После некоторых пояснений (их я полностью опускаю из опасения, что они были бы совершенно непонятны большинству читателей) профессор заявил, что хотел бы в заключение лекции построить одну из простейших нульсторонних поверхностей. К этому времени все присутствовавшие, не исключая и меня, обменивались понимающими улыбками. На лице профессора Симпсона улыбочка была несколько напряженной.

Сляпенарский достал из кармана пиджака пачку синей бумаги, ножницы и тюбик с клеем. Он вырезал из бумаги фигурку, до странности напоминавшую бумажную куклу: пять длинных выступов, или отростков, походили на голову, руки и ноги. Затем он сложил фигурку и стал аккуратно склеивать концы отростков. Процедура была весьма деликатная и требовала большой осторожности, выступы весьма хитроумно переплетались. Наконец, осталось только два свободных конца. Сляпенарский капнул клеем на один из них.

— Джентльмены, — сказал он, держа перед собой замысловатое сооружение из синей бумаги и поворачивая его так, чтобы все могли видеть, — сейчас вы увидите первую публичную демонстрацию поверхности Сляпенарского.

С этими словами профессор прижал один из свободных концов к другому.

Раздался громкий хлопок, как будто лопнула электрическая лампа, — и бумажная фигурка исчезла!

На мгновение мы замерли, а потом все как один разразились смехом и аплодисментами.

Разумеется, мы были убеждены, что стали жертвами тонкого розыгрыша. Но нельзя не признать, что исполнено все было великолепно. Как и другие участники банкета, я полагал, что Сляпенарский показал нам остроумный химический фокус и что бумага была пропитана особым составом, позволяющим поджечь ее трением или каким-то другим способом, после чего она мгновенно сгорела, не оставив и пепла.

Профессор Сляпенарский, казалось, был озадачен дружным смехом, и лицо его приобрело неотличимый от бороды цвет. Он смущенно улыбнулся и сел. Аплодисменты мало-помалу стихли.

Мы все столпились вокруг нашего гостя и наперебой шутливо поздравляли его с замечательным открытием. Старший из официантов напомнил нам, что для тех, кто хотел бы заказать напитки и посмотреть программу варьете, внизу заказаны столики.

Столовая постепенно опустела. В комнате остались только Сляпенарский, Симпсон и ваш покорный слуга. Два знаменитых тополога стояли у доски. Симпсон, широко улыбаясь, указал на один из чертежей:

— Ошибка в вашем доказательстве скрыта необычайно остроумно, профессор. Не знаю, заметил ли ее еще кто-нибудь из присутствующих.

Лицо Сляпенарского было серьезно.

— В моем доказательстве нет никакой ошибки, — заметил он не без раздражения.

— Да полно вам, профессор, — возразил Симпсон, — ошибка вот здесь.

Он коснулся пальцем чертежа:

— Пересечение этих линий не может принадлежать многообразию. Они пересекаются где-то вне многообразия. — Он сделал неопределенный жест вправо.

Лицо Сляпенарского снова покраснело.

— А я говорю вам, что никакой ошибки здесь нет, — повторил он, повысив голос, и медленно, тщательно выговаривая, как бы выстреливая слова, повторил шаг за шагом все доказательство от начала до конца, постукивая для пущей убедительности по доске костяшками пальцев.

Симпсон слушал с мрачным видом и в одном месте прервал Сляпенарского, возразив ему что-то. Сляпенарский мгновенно парировал возражение. Последовало еще одно замечание, но и оно не осталось без ответа. Я не вмешивался в их спор, поскольку он уже давно вышел за рамки моего понимания и воспарил к недоступным мне высям топологии.

Между тем страсти у доски накалялись, и оппоненты говорили все громче и громче. Я уже говорил о давнем споре Симпсона со Сляпенарским по поводу нескольких топологических аксиом. О них-то теперь и зашла речь.

— А я говорю вам, что ваше преобразование не взаимно-непрерывно и, стало быть, эти два множества не гомеоморфны, — кричал Симпсон.

На висках Сляпенарского вздулись вены.

— Не будете ли вы так любезны объяснить в таком случае, каким образом исчезло мое многообразие? — заорал он в ответ.

— Дешевый трюк, ловкость рук и ничего больше, — презрительно фыркнул Симпсон. — Не знаю, да и знать не хочу, как вы его делаете, но ясно одно: ваше многообразие исчезло не из-за того, что стало нульсторонним.

— Ах, не стало? Не стало? — процедил Сляпенарский сквозь зубы и, прежде чем я успел вмешаться, нанес своим огромным кулаком удар Симпсону в челюсть. Профессор из Висконсина со стоном упал на пол. Сляпенарский обернулся ко мне о грозным видом.

— Не вздумайте вмешиваться, молодой человек, — предупредил он меня. Профессор был тяжелее меня по крайней мере на сотню фунтов, и я, вняв предупреждению, отступил.

О дальнейшем я вспоминаю с ужасом. С налитыми кровью глазами Сляпенарский присел рядом с распростертой фигурой своего оппонента и принялся сплетать его руки и ноги в фантастические узлы. Он складывал своего коллегу из Висконсина так же, как полоску бумаги! Раздался взрыв — и в руках у Сляпенарского осталась только груда одежды.

Симпсон обрел нульстороннюю поверхность.

Сляпенарский поднялся, тяжело дыша и судорожно сжимая твидовый пиджак Симпсона. Потом он разжал руки и пиджаком накрыл остатки симпсоновского туалета, лежавшие на полу. Сляненарский что-то невнятно пробормотал и принялся колотить себя кулаком по голове.

Я сохранил достаточно самообладания, чтобы догадаться запереть дверь. Когда я заговорил, голос мой звучал чуть слышно:

— А его… можно вернуть?

— Не знаю, ничего не знаю, — завопил Сляпенарский. — Я только начал изучать нульсторонние поверхности, только начал. Не знаю, где он может быть. Ясно только одно: Симпсон сейчас находится в пространстве большего числа измерений, чем наше, скорее всего в четномерном пространстве. Бог знает куда его занесло.

Внезапно он схватил меня за лацканы пиджака и тряхнул так сильно, что я подумал, не настала ли теперь моя очередь.

— Я должен найти его, — сказал Сляпенарский. — Это единственное, что я могу сделать.

Он уселся на пол и принялся переплетать самым невероятным образом свои руки и ноги.

— Да не стойте вы как идиот, — прикрикнул он на меня. — Лучше помогите.

Я кое-как привел в порядок свою одежду и помог ему изогнуть правую руку так, чтобы она прошла под его левой ногой и вокруг шеи. С моей помощью ему удалось дотянуться до уха. Левая рука была изогнута аналогичным способом.

— Сверху, сверху, а не снизу, — раздраженно поправил меня Сляпенарский, когда я пытался помочь ему дотянуться левой рукой до кончика носа.

Раздался еще один взрыв, гораздо более громкий, чем тот, которым сопровождалось исчезновение Симпсона, и лицо мое обдал порыв холодного ветра. Когда я открыл глаза, передо мной на полу высилась еще одна груда одежды.

Я стоял и тупо смотрел на две кучи одежды, как вдруг сзади раздался приглушенный звук, нечто вроде «пффт». Оглянувшись, я увидел Симпсона. Он стоял у стены голый и дрожал. В лице его не было ни кровинки. Затем ноги его подкосились, и он опустился на пол. На его конечностях, там, где они плотно прилегали друг к другу, выступали красные пятна.

Я подкрался к двери, отпер ее и устремился вниз по лестнице: мне настоятельно требовалось подкрепиться. Потом мне рассказали о страшном переполохе в зале: за несколько секунд до моего появления Сляпенарский завершил свой прыжок из другого измерения.

В задней комнате я застал других членов общества «Мебиус» и администрацию клуба «Пурпурные шляпы» за шумным и бестолковым спором. Сляпенарский, завернувшись в скатерть как в тогу, сидел в кресле и прижимал к нижней челюсти носовой платок с кубиками льда.

— Симпсон вернулся, — сообщил я. — Он в обмороке, но думаю, что с ним все в порядке.

— Слава богу, — пробормотал Сляпенарский.

Администратор и владелец «Пурпурных шляп» так и не поняли, что произошло в тот сумбурный вечер, и наши попытки объяснить лишь усугубляли ситуацию. Прибытие полиции еще больше усилило неразбериху и панику.

Наконец нам удалось одеть пострадавших коллег, поставить их на ноги, и мы покинули поле брани, пообещав вернуться назавтра с нашими адвокатами. Управляющий, по-видимому, считал, что его клуб пал жертвой заговора каких-то иностранцев, и грозился взыскать с нас компенсацию за ущерб, нанесенный, по его словам, «безупречной репутации клуба». Оказалось, что таинственное происшествие, слух о котором разнесся по городу, послужило клубу отличной рекламой, и «Пурпурные шляпы» отказались от иска. Газеты прослышали о событиях того вечера, но воздержались от публикации каких-либо сообщений на эту тему, считая всю историю безвкусной стряпней некоего Фанштиля, пресс-агента клуба «Пурпурные шляпы».

Симпсон отделался легко, но у Сляпенарского оказался перелом челюсти. Я отвез его в госпиталь Биллингс, что неподалеку от университета, и в больничной палате далеко за полночь услышал от Сляпенарского о том, что, по его мнению, произошло. Симпсон, по-видимому, оказался заброшенным в более высокое (скорее всего в пятое) измерение, но проник туда не глубоко и попал в какую-то низину.

Придя в себя, он расцепил себе руки и тотчас же превратился в обычный трехмерный тор с наружной и внутренней поверхностями. Сляпенарскому повезло меньше. Он приземлился на какой-то склон. Вокруг ничего не было видно, со всех сторон, куда ни глянь, был неразличимый туман, но Сляпенарский отчетливо запомнил ощущение, будто он скатывается по склону холма.

Он пытался все время держаться за нос, но выпустил кончик носа до того, как достиг конца склона, и вернулся в трехмерное пространство, прервав своим появлением выступление Долорес.

Так ли было на самом деле, не знаю. Во всяком случае, таким представлялся ход событий Сляпенарскому.

Несколько недель он пробыл в госпитале, запретив пускать к себе посетителей, и я увидел его только в день выписки, когда проводил его на вокзал. Сляпенарский уехал поездом в Нью-Йорк, и с тех пор я его не видел. Через несколько месяцев он скончался от сердечного приступа. Профессор Симпсон вступил в переписку с вдовой профессора Сляпенарского в надежде разыскать хотя бы черновики работ своего покойного коллеги по теории нульсторонних поверхностей.

Сумеют ли топологи разобраться в черновиках Сляпенарского (разумеется, если их удастся найти), покажет будущее. Мы извели массу бумаги, но пока что нам удавалось построить только обычные двусторонние и односторонние поверхности. Хотя я помогал Сляпенарскому "складываться" в нульстороннюю поверхность, чрезмерное волнение стерло из моей памяти все детали.

Но я никогда не забуду замечание, которое обронил великий тополог в тот памятный вечер перед моим уходом.

— Счастье, — сказал он, — что Симпсон и я успели перед возвращением освободить правую руку.

— А что могло бы случиться? — спросил я недоумевающе.

Сляпенарский поежился.

— Мы бы вывернулись наизнанку, — сказал он.