"Ньютон" - читать интересную книгу автора (Карцев Владимир Петрович)

ЛЮБОВЬ К МАТЕМАТИКЕ

В марте 1664 года в устоявшейся кембриджской жизни случилось важное, хотя и не привлёкшее особого внимания школяров событие: Исаак Барроу в присутствии университетских старейшин в парадных мантиях прочёл в Тринити-колледже первую лекцию в качестве лукасианского профессора математики. Кафедра была создана всего год назад, и расходы на её содержание, расходы немалые, взял на себя некий Генри Лукас, поставивший одно лишь непременное условие — первая кафедра математики в Кембридже должна называться его именем.

Исаак Ньютон — в числе немногих (очень немногих!) слушателей. Он ловит каждое слово. Ведь лекции Барроу в точности отвечают сегодняшним увлечениям Ньютона, подстёгивают его интерес к математике — к математике как средству постижения природы.

Курс, прочитанный профессором Барроу, был довольно элементарен. Но так или иначе, именно с началом лекций Барроу совпадает — и вряд ли это случайно — возникновение у Ньютона страсти к математике.

…Незадолго до смерти Ньютон, беседуя с английским математиком Абрахамом де Муавром, сказал, что начало его математических увлечений связано с покупкой им на Стурбриджской ярмарке 1663 года книги по индуистской астрологии. Книга была дорога, покупка её была событием. Причина покупки: Ньютон хотел узнать, что произойдёт с ним в будущем, какие события ждут его завтра, какие беды и несчастья подстерегают за углом? Но книга, оказалось, требовала от желающего узнать своё будущее изрядных математических познаний — там нужно было, например, рассчитывать площади и объёмы облаков, что было невозможно без знания элементарной тригонометрии, которую Ньютон не изучал. Пришлось купить книгу и по тригонометрии. Но и она оказалась непонятной! Автор всё время взывал к Евклиду. Ньютону пришлось снова разориться и обратиться к истокам. Тут он обнаружил, что многие теоремы, которые он раньше считал очевидными, даже «пустяковыми», имели глубокий смысл. Он с удовольствием дочитал книгу до конца и стал большим специалистом по евклидовой геометрии, что было особенно приятно Барроу — ведь именно он был издателем трудов Евклида в Кембридже.

Читал Ньютон и «Геометрию» Декарта. В ранних биографиях Ньютона рассказывается о том, как, прочтя две или три страницы, он понял, что это выше его разумения. Начал сначала и продвинулся странички на две дальше. Повторяя приём, он прочёл книгу до конца. Эта история, конечно, поражает воображение, но совсем не соответствует истине, да и реальному ходу научения любого человека — даже Ньютона, который всегда начинал с простого и лишь затем переходил к сложному. Правда, делал он это необычайно быстро, быстрее всех других своих знакомых и незнакомых коллег.

Совсем недавно обнаружили выразительные следы тщательнейшего изучения Евклида молодым Ньютоном. Этот небольшой штрих позволил понять, как пришёл Ньютон и к декартовской геометрии.

Ньютон рассказывал друзьям своей старости:

— Проглядев список своих кембриджских расходов за 1663–1664 годы, я увидел, что в 1664 году, будучи старшим софистером, я приобрёл сборник Схоутена и «Геометрию» Карта — уже зная эту «Геометрию» и «Ключ» Утреда по крайней мере за полгода до этого. Тогда же я взял почитать работы Валлиса. Делая зимой 1664/65 года выписки из Схоутена и Валлиса, я открыл метод бесконечных рядов. А летом 1665 года, будучи вынужден уехать из Кембриджа из-за чумы, я вычислил площадь гиперболы с точностью до пятьдесят второго знака… Это было в Будби, в Линкольншире…

Что же за книги взял себе в математические поводыри Ньютон?

Первая — это учебник Вильяма Утреда. Утред умер всего 3–4 года назад, оставив себе памятником труд по арифметике и правило умножения чисел столбиком. Ван Схоутен был попроще — обычным учителем, перелагавшим на немудрёный школярский язык сложные геометрические эссе Виета и Декарта.

А вот Франсуа Виет был, возможно, первым, кто понял, как алгебра нужна геометрии. Отринув путы общепринятого в те поры словесного объяснения математических операций, он ввёл изящнейшее выражение известных и неизвестных величин посредством букв и использовал специальные обозначения для указания степеней. Создав элементарную алгебру («анализ»), он сам вписал в неё первые главы, дав известную формулу связи между корнями и коэффициентами уравнений. (Франсуа Виет знал и иную, тайную славу: его математический талант помог разгадать сложнейший шифр, которым пользовались для переписки испанский король Филипп II и его наместник в Нидерландах Фарнезе, и тем оказал большую услугу своей стране и её королю — Генриху IV французскому.)

Но именно Декартова геометрия стала для Ньютона главным откровением. В «Аналитической геометрии» алгебра шла рука об руку с геометрией, извлекая из этого альянса неведомые ранее преимущества. Система прямоугольных координат с осями «x» и «y», алгебраическое толкование различных геометрических понятий открывали перед математиками новые горизонты, а может быть, и просто новый мир.

Декарт ввёл в математику существующий до сих пор алгебраический стиль обозначений. Первые буквы алфавита он отдал заданным, известным величинам, а последние — неизвестным. Многие ворчали, не признавая Декартовых новаций. Паскаль смеялся над ними, а Чирнгауз ругательски ругал. Но, заменив цифровые обозначения буквенными, Декарт дал математикам необычайную свободу и лёгкость. Буквы позволяли подмечать то, что раньше тонуло в цифрах, в громоздких арифметических выкладках. В математику вошла диалектика. Рано или поздно должно было появиться дифференциальное и интегральное исчисление.

Это неизбежно должно было случиться и потому, что на математику наступала практика. Морские капитаны, чиновники адмиралтейства, астрономы, оптики, механики, торговцы требовали от математики решения заботящих их задач: найти точные размеры тел сложной формы. Вычислить объём винной бочки! Найти центр тяжести некоторой фигуры! Определить форму орбиты планеты! Определить площадь замысловатого участка земли! Нарисовать точную карту новой территории! И ещё великое множество задач и проблем требовало от математики односложного и прямого ответа.

Многие из этих задач известны с древности, но лишь математики XVII столетия разработали эффективные приёмы, связанные с использованием бесконечно малых величин, завершившиеся величайшим открытием Ньютона — дифференциальным и интегральным исчислением.

Ньютон подошёл к этому своему открытию лишь после того, как уже вдоволь наигрался на декартовой плоскости с кривыми второго порядка, любимыми Пьером Ферма. Здесь был Олимп знаний времени, но Ньютон даже не остановился на нём, без усилия и передышки перейдя к кривым третьего порядка. Он быстро оснастил эти кривые, как Пьер Ферма, осями, вершинами, центрами, диаметрами и асимптотами, произвёл классификацию этих кривых и проработал их теорию.

Невозможно представить себе другой пример столь быстрого расцвета математического гения. За год-два провинциал, неофит, ничем пока себя не проявивший школяр смог не только вписать новые главы в самые сложные страницы анализа, но и превратиться в основоположника современной математики.

На рождество 1664 года, в свой день рождения, Исаак решил сделать самому себе подарок: составить список задач, которые он ещё не решил. Сначала их было двенадцать, затем число их росло, одни заменялись другими (о чём свидетельствуют чернила разной плотности в кембриджском блокноте), пока их не стало двадцать две. Задачи были такого типа: найти оси, диаметры, центры, асимптоты различных кривых, сравнить кривизну их с кривизной круга, найти наибольшую и наименьшую кривизну, построить касательную к кривой…

А уже через несколько дней после рождества он получил подарок и от Кембриджа — его произвели в бакалавры. Без всяких экзаменов, без унизительного стояния на «квадрагезиме» — арене позора. Если бы он не миновал этой неизбежной ступеньки, он должен был бы в конце концов избрать для себя один из двух путей — или вернуться в Вулсторп и стать помимо своей воли полновластным хозяином поместья, или же принять священный сан и получить в лучшем случае — приход Северного Уитэма, приход его отчима — Барнабы Смита, а в худшем — место домашнего священника у какого-нибудь аристократа или разбогатевшего торговца, по существу, место мальчика на побегушках, подходящая партия для горничной, конечно, в том случае, если на неё не польстится дворецкий.

А экзаменов не было потому, что комета 1664 года сказала правду. Пронёсся слух о том, что из Лондона наступает чума. Сколеров подходящего стажа произвели в бакалавры без излишних формальностей.

…А может быть, это было и неплохо — то, что он с опозданием узнал классическую геометрию. Для него уравнения были не просто иллюстрацией геометрических построений, но имели собственный смысл, отражая собой саму Природу…

Внимание его сосредоточивалось не столько на кривых, сколько на уравнениях. Он изучал уравнения, описывающие всевозможные кривые, всячески упрощал их, используя самые неожиданные оси координат. Он свободно обращался с декартовой плоскостью, легко передвигал по ней прямые и кривые, видя за этим изменения соответствующих уравнений и их корней, без устали сталкивал на плоскости различные фигуры, с любопытством наблюдая за их взаимодействием. Уже в мае 1665 года он нашёл теорему, переоткрытую в 1720 году его последователем Колином Маклореном: о числе точек пересечения двух кривых разных порядков.

«А вот теперь, — вспоминал Ньютон, — я расскажу ещё о том, каким образом я впервые получил ряды… В начале моих занятий математикой, когда я натолкнулся на работу знаменитого Валлиса, я рассматривал те ряды, путём интерполяции которых Валлис получал площадь круга и гиперболы…»

Из последней фразы видно, что Ньютон шёл к своему открытию вполне традиционным путём — через квадратуры. Упрощённое вычисление сложных площадей всегда было одной из центральных задач математики. Исстари известны способы точного вычисления площадей квадрата, прямоугольника, треугольника. И всё. Но исстари же известно, что площади, ограниченные кривыми линиями, вычислять чрезвычайно сложно. И даже не из-за бесконечного разнообразия кривых линий. А из-за того, что различные кривые линии трудно наложить одна на другую. Как определить, например, что один эллипс именно вдвое больше по площади, чем другой?

Во времена Ньютона математики делать этого не умели.

Но как мог Архимед делить шар на две части, объёмы которых находились бы в заданном отношении?

— Немыслимо, чтобы Архимед решил эту задачу случайно, — рассказывал на лекциях Барроу, большой знаток древних геометров, — решить её можно только угадыванием, месяцами чёрной и неблагодарной вычислительной работы. Он, несомненно, пользовался каким-то аналитическим методом, который скрывал…

Ньютон пока изучал, как проводится вычисление площади различных фигур. Площадь круга, например, можно очень грубо оценить, вычисляя площадь вписанного в него квадрата. Эта «площадь круга» будет, конечно, меньше площади круга. Зато отпала необходимость вычислять площадь, ограниченную кривой линией. Площадь вписанного восьмиугольника уже ближе к площади круга, вычислить её тоже можно. Площадь 128-угольника практически точно соответствует площади круга. Площадь круга можно вычислить, и вполне точно, если поставить задачу найти предел — площадь вписанного в круг бесконечно-угольника, сторона которого бесконечно мала. Точно так же можно вычислить площадь, ограниченную любой кривой линией, — если заменить её множеством прямоугольников или других легко вычисляемых фигур с бесконечно малой стороной.

Именно этой тропой шёл профессор геометрии Оксфордского университета Джон Валлис, один из основателей Королевского общества, автор книги «Арифметика бесконечного», работ по теории удара, приливов и отливов, звука и тяготения; а кроме того — сотрудник кромвелевской разведки, отгадчик секретных шифров роялистов (нужды практики не оставляли математику в покое).

Валлис шёл от Кавальери — он превращал сложные кривые в ступенчатые пирамиды. Иногда ему удавалось подобрать законы, управляющие высотой ступенек, и выразить их с помощью бесконечных рядов. (Он и не подозревал тогда, что занимается примитивным интегрированием.)

Валлис широко использовал метод интерполяции — поиск неизвестных членов математического ряда, лежащих между известными. Изучая один из валлисовских примеров — частный случай бинома (1–x)², - Ньютон сообразил, что между прямоугольными «ступеньками» можно расположить промежуточные прямоугольники, площади которых образуют с первыми геометрическую прогрессию. Это был, по существу, путь к «биному Ньютона».

Разработка в 1664–1665 годах биномиального разложения для какого угодно целого положительного показателя была крупнейшим научным достижением Ньютона, сравнимым по своему значению с открытием дифференциального и интегрального исчисления. Он сразу же находит для своего открытия выразительные применения. Записывает ряды для выражения сегмента и сектора круга, синуса, арксинуса, логарифмической функции. С помощью рядов Ньютон мог теперь изучать свойства функций, делать приближённые вычисления. В алгебре ряды были не менее важны, чем десятичные дроби в арифметике. Сам Ньютон говорил:

«Как десятичные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные в них обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так что с ними можно обращаться как с последними, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту пользу, что всякие сложные выражения можно с их помощью привести к бесконечному ряду дробей, при этом с небольшой затратой сил удаётся преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти непреодолимыми».

Ньютон стал главным создателем исключительно продуктивного метода разложения в ряды и расплодил их громадное разнообразие там, где раньше была лишь геометрическая прогрессия и несколько других частных видов.

Как-то, уже во время чумы 1665 года, когда он поселился в Вулсторпе, он решил, как обычно, прогуляться по большой северной дороге. Задумавшись, он отмахал по мощёному тракту несколько миль и не заметил, как очутился уже в Будби Паньель, где настоятелем служил член Тринити-колледжа Гемфри Бабингтон, его бывший «хозяин». Бабингтон встретил Исаака тепло, обласкал, вёл с ним учёные разговоры. В результате Ньютон прожил у маститого кембриджца несколько дней и за эти дни полностью навёл в своей голове порядок относительно рядов. Здесь, в Будби, было спокойно. Здесь была богатая библиотека, где ничто не мешало читать и размышлять, не опасаясь упрёков в безделии и бесконечных понуканий. Именно здесь Ньютон решил опробовать свой биномиальный ряд для вычисления площади гиперболы. Формула получалась очень простая. Она позволяла определять площадь с любой точностью, зависящей лишь от терпения я усидчивости, — она определялась тем количеством членов ряда, которым довольствовался искатель площади гиперболы.

Ньютон просидел всё утро, добавляя и добавляя новые члены ряда и повышая точность. Десять знаков, двадцать, тридцать… Когда перед Ньютоном было уже 52-значное число, его позвали обедать. И хорошо сделали, поскольку где-то на сороковых знаках он допустил ошибку.

Хотя позднее Ньютон создал общие методы разложения в степенные ряды, он до старости сохранил особую любовь и привязанность к простому биномиальному ряду.

…Новое увлечение и новая чёрная бакалавровская мантия с белым воротничком всё больше отдаляли его от детской мечты — жениться когда-нибудь на мисс Сторер. Маленькая фигурка её, смутные воспоминания о проведённых вместе детских годах меркли в его воображении перед пронзительным светом математической истины. Сейчас он чувствовал себя способным решить проблемы, которые веками волновали человечество. При одной мысли об этом он ощущал глухой и мощный ток крови, бешеное нетерпение и ненасытную страсть первооткрывателя. Конечно, он останется в Кембридже навсегда. Потом он станет магистром, затем членом колледжа, может быть, профессором. Он знал, что членам колледжа запрещено жениться. Ньютон не жалел об этом. Его любовью стала математика…