"Принцесса или тигр" - читать интересную книгу автора (Смаллиан Рэймонд)

Решения

1, 2, 3. Прежде всего заметим, что на острове должны выполняться следующие правила:

Правило 1. Во время бодрствования любой житель острова считает, что он принадлежит к дневному типу.

Правило 2. Во время сна любой островитянин полагает, что он принадлежит к ночному типу.

Правило 3. Жители дневного типа всегда уверены, что они бодрствуют.

Правило 4. Жители ночного типа всегда уверены, что они спят.

Для доказательства правила 1 предположим, что X — житель острова, который в данный момент не спит. Если X принадлежит к дневному типу, тогда он одновременно принадлежит к дневному типу и бодрствует; значит, его суждения в этот момент правильны, и он знает, что относится к дневному типу. С другой стороны, предположим, что X принадлежит к ночному типу. Тогда, поскольку он относится к ночному типу и в данный момент бодрствует, его суждения неверны; поэтому он ошибочно полагает, будто он относится к дневному типу. Итак, суммируя, имеем: когда X бодрствует, то если он принадлежит к дневному типу, он (правильно) считает, что относится к дневному типу; если же он относится к ночному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также принадлежит к дневному типу.

Правило 2 доказывается аналогично: когда X спит, то если этот островитянин принадлежит к ночному типу, он (правильно) считает, что он относится к ночному типу, а если он принадлежит к дневному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также относится к ночному типу.

Для доказательства правила 3 предположим, что обитатель острова X принадлежит к дневному типу. Пока он не спит, его суждения правильны и, следовательно, он твердо убежден, что бодрствует. Но во время сна его суждения неверны, и, следовательно, тогда он ошибочно полагает, будто он бодрствует. Итак, во время бодрствования он (правильно) считает, что бодрствует, а во время сна он (ошибочно) полагает, будто также бодрствует.

Правило 4 доказывается аналогично правилу 3, и мы предоставляем это сделать самому читателю.

Обращаясь теперь к решению задачи 1, заметим, что в данном случае невозможно определить, правильно ли суждение островитянина. Однако ясно, что в указанный момент он должен был бодрствовать, поскольку если бы островитянин спал, то он был бы убежден, что принадлежит не к дневному, а к ночному типу (согласно правилу 2).

Что касается задачи 2, то здесь также нельзя определить, было ли суждение островитянина верным, однако ясно, что он должен принадлежать к ночному типу, поскольку если бы это было не так, то данный житель острова был бы уверен, что он бодрствует, а не спит (согласно правилу 3).

В отношении же задачи 3 ответом па вопрос «а» является «нет» (потому что в соответствии с правилами 1 и 2 мнение островитянина но поводу того, принадлежит он к дневному или ночному типу, изменяется в зависимости от его состояния (то есть, от того, бодрствует он или же спит), а ответом на вопрос «б» является «да» (в соответствии с правилами 3 и 4).

4. Вы можете решать эту задачу последовательно, рассматривая по очереди каждый из следующих четырех вариантов: 1) островитянка относится к ночному типу и спит, 2) она принадлежит к ночному типу и бодрствует, 3) она относится к дневному типу и спит, 4) она принадлежит к дневному типу и бодрствует.

Можно выяснить, какой же из вариантов не противоречит условиям задачи. Тем не менее я предпочел бы следующее доказательство.

Прежде всего, могут ли убеждения обитательницы острова оказаться ошибочными? Если это так, то она не может ни находиться во сне, ни принадлежать к ночному типу, откуда следует, что она бодрствует и относится к дневному типу. Но такое утверждение приводит нас к противоречию, поскольку человек, который бодрствует и относится к дневному типу, никак не может обладать неверными убеждениями. Таким образом, ее убеждения не могут оказаться ошибочными, а значит, они должны быть верными. Следовательно, данная жительница острова принадлежит к ночному типу и спит.

5. Эту задачу тоже можно решить, последовательно перебрав четыре возможных ответа, но я вновь предпочитаю более творческое решение.

Итак, могло ли мнение этого островитянина оказаться правильным? Если да, то, значит, он действительно находился во сне и принадлежал к дневному типу. Но будучи таковым (то есть спящим и дневного типа), он никак не мог обладать правильным мнением. Таким образом, его суждение было бы ошибочным. Но единственные случаи, когда житель острова может иметь ошибочное суждение — это, когда он либо находится во сне и принадлежит к дневному типу, либо бодрствует и относится к ночному типу. Вместе с тем, если бы островитянин находился во сне и принадлежал к дневному типу, то его суждение оказалось бы правильным (ибо это и есть то, во что он верит). Следовательно, он должен был бодрствовать и относиться к ночному типу.

6. Если вы начнете решать эту задачу перебором, то вам придется рассмотреть 16 случаев! (Четыре возможности для мужа, и для каждого из этих 4 вариантов еще 4 — для жены.) К счастью, есть более простой подход. Прежде всего, поскольку один из супругов спит, а другой бодрствует, и, кроме того, поскольку их суждения прямо противоположны, то они непременно должны принадлежать к одному и тому же типу (то есть оба они одновременно должны относиться либо к дневному, либо к ночному типу). В самом деле, если бы они принадлежали к разным типам, то их суждения оказались бы прямо противоположными в случае, если бы они оба спали или оба бодрствовали, и совпали бы в случае, если бы один из них спал, а другой бодрствовал. Но поскольку мнения супругов, когда один из них спит, а другой бодрствует, не совпадают, то, значит, они должны принадлежать к одному типу.

Предположим поначалу, что оба они относятся к ночному типу. Тогда мнение мужа в тот момент было правильным, и, поскольку он относится к ночному типу, то, понятно, он должен был находиться во сне. Допустим теперь, что оба супруга принадлежат к дневному типу. Тогда очевидно, что муж ошибался, полагая, будто и он, и жена относятся к ночному типу, но поскольку он, согласно условию, принадлежит к дневному типу и к тому же мнение его ошибочно, то он в это время должен был находиться во сне. Итак, независимо от того, к какому типу относятся оба супруга, муж в тот момент должен был спать, а жена — бодрствовать.

7. Эта задача еще проще. Действительно, поскольку супруги принадлежат к разным типам, то их суждения должны быть прямо противоположными, если они находятся в одном и том же состоянии(то есть оба бодрствуют или оба спят), и одинаковыми, если они находятся в различных состояниях (то есть один из них спит, а другой бодрствует). Но поскольку в описываемом случае их мнения оказались противоположными, то, значит, оба они были в одном и том же состоянии, то есть оба спали или бодрствовали. Стало быть, жена Байрона была права.

8. Очевидно, в тот момент Эдвард находился несколько не в себе, одновременно придя к двум логически сключающим друг друга суждениям! Итак, оба утверждения Эдварда должны быть ошибочными. Но поскольку он считал, будто и он, и Элейн относятся к ночному типу, то, значит, оба они к ночному типу не принадлежат. А поскольку он к тому же полагал, что сам он к ночному типу не относится, то, следовательно, как раз он-то и принадлежит к ночному типу. Таким образом, Эдвард относится к ночному типу, но оба они к ночному типу не принадлежат, и, стало быть, Элейн относится к дневному типу. Наконец, поскольку Эдвард относится к ночному типу и в то же время высказал ошибочное суждение, то он должен был бодрствовать. Поэтому ответ таков: сам Эдвард принадлежит к ночному типу и в тот момент бодрствовал, а его сестра относится к дневному типу.

9. Поскольку принцесса перешла в другое состояние, то, стало быть, одно из двух ее суждений было правильным, а другое ошибочным. Это означает, что из следующих двух высказываний одно истинно, а другое ложно:

(1) Король и королева принадлежат к разным типам.

(2) Король относится к дневному типу, а королева принадлежит к ночному типу.

Если высказывание (2) истинно, тогда высказывание (1) также должно быть истинным, однако мы знаем, что высказывания (2) и (1) не могут быть истинны одновременно. Таким образом, высказывание (2) должно быть ложным, а высказывание (1) — истинным. Поэтому король и королева действительно принадлежат к разным типам, но утверждение, что король относится к дневному типу, а королева — к ночному, не соответствует истине. Следовательно, король должен относиться к ночному типу, а королева—к дневному.

10. Предположим, что Орк принадлежит к дневному типу и в тот момент бодрствовал. Следует ли из этого предположения, что Орк должен быть колдуном? Да, следует, и вот почему. Допустим, что Орк действительно относится к дневному типу и в то время бодрствовал. Тогда его суждения правильны, откуда следует, что в случае, если он относится к дневному типу и бодрствует, то он и есть колдун. Но он принадлежит к дневному типу и бодрствует (лишь по предположению), следовательно, он должен быть колдуном (опять-таки, конечно, при условии, что он относится к дневному типу и бодрствует). Таким образом, предположение о том, что Орк относится к дневному типу и бодрствует, приводит нас к выводу, что он — колдун. Это, разумеется, вовсе не указывает ни того, что исходное предположение правильно, ни того, что он колдун, — мы доказали только то, что если бы он относился к дневному типу и бодрствовал, то в этом случае он должен был быть колдуном. Итак, мы установили гипотетическое утверждение, что если бы Орк принадлежал к дневному типу и бодрствовал, то в таком случае он — колдун. Но именно в это гипотетическое утверждение Орк в тот момент и верил; следовательно, мнение Орка было верным! Это означает, что Орк в то время либо относился к дневному типу и бодрствовал, либо принадлежал к ночному типу и спал, однако (пока) мы не можем точно сказать, какой из этих двух вариантов имел место на самом деле. Поэтому наше допущение о том, что Орк является колдуном, совсем не обязательно должно быть истиной, поскольку вполне может оказаться, что он принадлежит к ночному типу и в тот момент спал.

Далее, рассуждая подобным же образом, мы полагаем, что суждение Борка тоже верно. В самом деле, если Борк принадлежит к дневному типу и бодрствует или относится к ночному типу и спит — то в любом из этих случаев его суждение является правильным, откуда следует, что он непременно должен быть колдуном. Но это то, во что верит Борк, и, следовательно, его суждение верно. Теперь, поскольку суждение Борка верно, он либо относится к дневному типу и в тот момент бодрствовал, либо принадлежит к ночному типу и в тот момент спал. Однако же и в том, и в другом случае он должен быть колдуном.

Поскольку Борк — колдун, то, значит, Орк в свою очередь колдуном не является. Стало быть, Орк не мог в тот момент бодрствовать и не мог принадлежать к дневному типу, поскольку мы установили, что если бы это оказалось именно так, то колдуном обязательно должен был быть он. Таким образом, Орк в тот момент находился во сне и, кроме того, он принадлежит к ночному типу. Следовательно, Борк в тот момент тоже находился во сне, а поскольку суждение Борка оказалось правильным, то, значит, Борк должен относиться к ночному типу. Итак, колдун относится к ночному типу.

11. Из того, что островитянин считал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует, мы можем сделать лишь один вывод — что он не относился к ночному типу и не спал. При этом у нас имеются три возможности.

(1) Он принадлежал к ночному типу и бодрствовал (причем его суждения были ошибочными).

(2) Он принадлежал к дневному типу и спал (и его суждения были ошибочными).

(3) Он принадлежал к дневному типу и бодрствовал (и его суждения были правильными).

Предположим теперь, что я сообщил моему приятелю, к какому типу относится островитянин. Мог бы в таком случае мой приятель решить задачу? Так вот, это в огромной степени зависело бы от того, что именно я ему сказал. Если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, тогда он сразу понял бы, что вариант (1) является при этом единственно возможным, и поэтому тотчас же сообразил бы, что островитянин бодрствовал. С другой стороны, если бы я сказал ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то это сразу исключило бы вариант (1), но сохранило бы варианты (2) и (3), причем мой приятель никак не смог бы выяснить, какая же из этих двух возможностей имеет место в действительности. Таким образом, в последнем случае он не сумел бы решить задачу.

Вместе с тем мой друг вовсе не требовал от меня ответа на вопрос, к какому типу относится островитянин; он лишь спросил меня, смог бы он решить задачу, если бы я сообщил ему, к какому типу принадлежит данный житель острова. На самом деле, если бы островитянин принадлежал к дневному типу, то на вопрос приятеля я должен был бы ответить «нет» (потому что, как показано выше, если бы я сообщил ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то он вообще не смог бы решить задачу). В то же время если бы житель острова относился к ночному типу, то на вопрос приятеля я ответил бы «да» (потому что, как мы только что показали, если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, то мой приятель вполне мог бы решить задачу). Таким образом, поскольку мой друг знал, что островитянин относится к ночному типу и бодрствует, то, стало быть, я ответил ему «да».

12. Из того, что жительница острова полагала, будто она принадлежит к ночному типу и спит, мы можем сделать один-единственный вывод — что она не принадлежала к дневному типу и не бодрствовала. При этом у нас остаются три возможности:

(1) Она принадлежала к ночному типу и спала.

(2) Она принадлежала к ночному типу и бодрствовала.

(3) Она принадлежала к дневному типу и спала. Если бы на вопрос моего первого приятеля я ответил «да», он тотчас же догадался бы, что единственной возможностью решения задачи в таком случае является вариант (3) (рассуждая при этом совершенно аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи). Но поскольку он не сумел решить задачу, то, по всей видимости, я ответил ему «нет». Естественно, что этот ответ исключает из рассуждения вариант (3), и поэтому у нас остаются лишь варианты (1) и (2). Обратимся теперь к вопросу, который мне задал мой второй приятель. Если бы я ответил ему «да», то он сразу же сообразил бы, что единственной реальной возможностью решения задачи является вариант (2) (только этот вариант относится к случаю, когда обитательница острова бодрствует, в то время как варианты (1) и (3) могут иметь место лишь в случае, когда она спит). Поскольку второй приятель также не смог решить задачу, стало быть, я опять ответил ему «нет», а это сразу отбрасывает вариант (2). Итак, нам остается только вариант (I), который и имел место в действительности, — то есть, что жительница острова относилась к ночному типу и находилась ко сне. как она сама справедливо и полагала.

Подведем итоги: то, что мой первый приятель не сумел решить задачу, исключает из рассмотрения случай (3), а то, что ее не смог решить второй приятель, отбрасывает случай (2). Таким образом, нам остается только вариант (3), а именно что обитательница острова принадлежала к ночному типу и спала.

Эпилог. В начале этой главы я упоминал, будто бы весь этот остров мне приснился. Вместе с тем, если бы такого рода остров существовал на самом деле, то, значит, мне приснились бы истинные события. Поэтому, если бы я оказался одним из его обитателей, то меня следовало бы отнести к ночному типу.