"Реникса" - читать интересную книгу автора (Китайгородский Александр Исаакович)

Парадоксы

Термин этот не очень строгий. О суждении говорят, что оно парадоксально, по различным поводам.

Иногда это синоним термина «неожиданно». Мастером такого парадокса был Анатоль Франс – человек с острым насмешливым взглядом. Достаточно напомнить злые и совершении справедливые рассуждения в «Острове Пингвинов» по поводу того, что лучшим судебным делом является дело, не содержащее никаких письменных доказательств. Насколько легче при таких условиях действовать обвинителю, который может не беспокоиться, что кто-либо из защиты обнаружит фальсификацию документов обвинения!

В иных случаях парадоксами называют абсурдные суждения, поддерживаемые вполне здраво звучащими аргументами. Такие парадоксы в изобилии рассыпаны по пьесам Оскара Уайльда.

– Вы слушали, как я играл на рояле?

– Нет, сэр, ведь подслушивать неприлично.

Или:

– Вы подождете меня?

– Я буду ждать вас целую вечность, если это недолго!

Парадоксальные суждения привлекают внимание исследователей, занимающихся математической логикой. Их интерес обращен к таким суждениям, которые, несомненно, абсурдны, а в то же время, казалось бы, доказаны с безупречной логикой.

Рассмотрим несколько примеров парадоксов и постараемся показать, что суждения, оторванные от человеческого опыта, могут привести к противоречиям, абсурду и бессмыслице. Эти примеры известны и не раз служили материалом для обсуждений. Надо сказать, что все они сыграли известную положительную роль в развитии человеческой мысли.

Впрочем, это относится почти к любой рениксе. В начальной стадии познания истины человеческие заблуждения полезны, так как способствуют накоплению фактического знания. Однако в какой-то момент обнаруживается их ложность и находится правильный подход к проблеме. С этого момента заблуждения тормозят развитие науки, и упорное возвращение к ним отдельных ученых, возвращение к вопросам, уже скинутым со счетов науки, раздражает исследователя, шагающего в ногу с веком.

В продолжение столетий парадоксы приводили в смятение мыслителей. Действительно, до тех пор, пока сохраняется вера в абсолютный смысл слова, до тех пор, пока неясно, что слова не более чем условные знаки, помогающие человеку обращаться с жизнью, до этих пор внутренние противоречия, встречающиеся в игре со словами, воспринимаются чуть ли не как катастрофа. Кажется, что разрушается инструмент, при помощи которого познается природа.

Но в том-то и дело, что слова не инструмент познания. Эту роль играет практика, и слова действенны лишь постольку, поскольку они привязаны к опыту.

Итак, вот первый парадокс. В некоем селе проживает парикмахер. Парикмахер бреет всех мужчин, но только тех, которые не бреются сами. Вопрос – бреет ли парикмахер сам себя?

Если мы скажем – бреет, то входим в противоречие с той частью утверждения, в которой говорится, что парикмахер бреет только тех мужчин, которые не бреются сами. Если мы скажем – не бреет, то входим в противоречие с тем, что парикмахер бреет всех мужчин, которые не бреются сами.

Положение, как видите, безвыходное. Формальная логика приводит к противоречию.

Что же отсюда следует? Да ничего более, чем то, что нет такого парикмахера, который бреет тех мужчин, которые бреются сами. А поскольку его нет, то противоречия внутри игры словами нас могут не беспокоить.

Этот парадокс был предложен вниманию логиков относительно недавно. Что же касается следующего примера, то ему столько лет, сколько насчитывает дошедшая до нас цивилизация.

Эпименид из Крита сказал: все критяне лжецы. Поскольку сам Эпименид тоже критянин, то, значит, фраза неверна. Но если фраза неверна, то, значит, не все критяне лжецы.

Таких парадоксов можно придумать бесчисленное количество. Можно создать некую систему условностей, которая спасает формальную логику, пострадавшую в этом простом примере. Но мы не станем заниматься этими «спасательными» работами, ибо гибнет словосочетание, не имеющее отношения к жизни (к опыту). Действительно, подойдем к утверждению Эпименида с придирчивостью естествоиспытателя и зададим несколько вопросов подобному критянину.

– Вы говорите, что все критяне лжецы. Как это проверить?

– Что же, – ответил он, – спросите их, какого цвета лист белой бумаги, и вы увидите, что все они скажут, что это черная бумага.

– Превосходно. Пожалуйста, теперь взгляните вы сами на этот вот лист белой бумаги – какого он цвета?

– Что вы глупости спрашиваете? Конечно, белый!

– Совершенно верно. Но ведь вы же критянин. Значит, когда вы говорили, что все критяне лжецы…

– Ну, разумеется, я себя не включал в это число.

Как видите, парадокс уничтожен на корню, как только мы постарались поставить слова на надлежащее им место – слуг опыта.

Некоторые математики иногда забывают, что и их рассуждения не могут быть целиком оторваны от опыта. И если это случается, то, если слова теряют свою служебную роль, опасность встречи с парадоксом возникает тотчас же. Вот яркий пример.

Предметы можно разбивать на классы, и притом по-разному. Скажем, перед нами гора камней. Разложить их можно на кучи по весу: в одной будут камни весом до килограмма, в другой – от одного килограмма до двух, в третьей – от двух до трех и т. д. Можно классифицировать их по цвету: отдельно черные, отдельно серые, отдельно зеленые… Можно разбить их на группы в зависимости от формы.

Подобное разделение может быть не только физическим, но и мысленным. Например, находящиеся в сосуде молекулы газа можно мысленно разбить на двухатомные, трехатомные, четырехатомные. Эти и им подобные примеры не преподнесут нам никаких сюрпризов.

Но вот пример другого сорта. Здесь мысленное распределение фактов, явлений, предметов по полкам провести не удастся.

Рассмотрим классы, единственным признаком которых является то, что они состоят более чем из пяти членов. Например, один класс – это шесть коров, второй класс – двадцать два камня, третий – десять граммофонов, четвертый – миллиард молекул… Поскольку классов с таким признаком (больше пяти элементов) очень много, то ясно, что класс таких классов является членом самого себя. Таких примеров классов, которые являются членами самих себя, очень много. И вот тут-то, в примере с классом, являющимся членом самого себя, мы покидаем почву опыта: разделение предметов на упомянутые классы уже в принципе не может быть произведено на опыте.

Разумеется, есть классы, не удовлетворяющие этому условию. Так, класс камней, с которого мы начали, не является членом самого себя, поскольку класс камней не один камень. То же относится и к классу людей, коров или письменных столов.

Рассмотрим теперь класс классов второго типа, то есть таких, которые не являются членами самих себя. К какому типу из двух принадлежит он: является членом самого себя или нет?

Так как его членами являются классы, которые не являются членами самого себя, то этот класс классов будет являться членом самого себя, если он не является членом самого себя. Вот вам и парадокс.

Может быть, не вдумались? Повторю еще раз. Обозначим классы, которые являются членами самого себя, через Я, а такие классы, как класс камней, лошадей или людей (то есть не являющиеся членами самих себя), через Н. Вопрос: принадлежит ли класс, членами которого являются классы «Н» к типу «Я» или типу «Н»? К типу «Я» он не принадлежит, поскольку состоит из классов типа «Н». Но тогда он относится к типу «Н». Но ведь он состоит из классов «Н»? Значит, он относится к типу «Я».

Итак, с одной стороны, относится, а с другой – не относится.

Вдумались? Положение, как видите, безвыходное. Да, логика отказала. Где же бессмыслица?

Она всё в том же – нельзя играть словами, отрываясь от опыта. Все неприятности возникают сейчас же, как только мы начинаем вводить в качестве условия членства в классе возможность не содержаться в самом себе, или не содержаться в своих членах, или что-либо подобное. Короче говоря, абсурд возникает именно тогда, когда теряется связь с реальной действительностью.

Разумеется, формальная логика всегда может быть спасена введением дополнительных ограничений или условий. Это, однако, нас сейчас не интересует. Мы достигли своей цели – показали на нескольких примерах, в какие тупики может завести игра словами.