"Диалоги (май 2003 г.)" - читать интересную книгу автора (Гордон Александр)

Модели эффекта Харста

Участники:

Вячеслав Найдёнов – доктор физико-математических наук

Ирина Аркадьевна Кожевникова – кандидат физико-математических наук

Вячеслав Найдёнов: Если бы нужно было определить три ключевых слова нашей беседы, я бы назвал следующее: нелинейность, сложность и вероятность. И речь пойдёт о нелинейных универсальных механизмах, приводящих к сложному поведению некоторых природных систем, для описания которых нужно существенное применение вероятностных методов.

Именно показатель и эффект Харста являются теми ключевыми эффектами, которые указывают на сложность этой природной системы. И речь у нас пойдёт о водах суши – морях, реках и озёрах.

В 1951-м году британский климатолог Харольд Харст, проведший более 60 лет в Египте, где он участвовал в гидротехнических проектах на Ниле, описал неожиданный эффект поведения стока этой реки. Чтобы понять его суть, рассмотрим процесс наполнения Средиземного моря водами Нила, куда он впадает. Если мы предположим, что расходы воды каждый год в реке одинаковы, то мы получим, что за время Т суммарный расход воды будет пропорционален полному времени – Q пропорционально Т. Если мы предположим, что сток Нила – это последовательность слабо зависимых, случайных величин, что ближе к действительности, то мы получим, что суммарный расход пропорционален Q в степени одна вторая. То есть наполнение происходит гораздо медленней. Вот это соотношение и получило название закона Харста, а показатель степени – показателя Харста.

Почему так важно различие в этих степенях? Различие важно по следующей причине. Приведём такой пример, более доступный, из небесной механики. Если мы рассмотрим задачу о вращении планеты вокруг солнца и примем, что сила тяготения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния, то получим классический результат Кеплера – планета движется по эллипсу. Если мы примем, что сила тяготения обратно пропорциональна кубу расстояния, то есть изменим немного степень, то мы получим следующий эффект: планета либо падает на своё солнце, либо уходит в космическое пространство. Кстати, эту задачу рассматривал сам Ньютон в своих «Началах».

Другими словами, при изменении степени мы получаем разные миры. Один мир – мир падающих яблок и лун, движущихся по правильным орбитам, а другой – мир с совершенно иными свойствами. Вот так примерно с эффектом Харста для движения воды. То есть, если водный мир следует эффекту Харста, то это мир катастрофических наводнений, паводков, мир внезапных подъёмов и падений уровня воды в водоёмах. Это бурный, неустойчивый мир. Если бы водный мир не следовал эффекту Харста, то мы получили бы спокойный мир без водных катастроф.

Задача описания этого эффекта очень волновала учёных. И математическим образом, который позволяет описывать этот эффект, стало фрактальное броуновское движение. Что такое фрактальное броуновское движение, Ирина Аркадьевна может пояснить.

Александр Гордон: Только можно я уточняющий вопрос сразу задам? Ведь Харст получил для Нила не 0,5, как было предположено, а 0,7. Именно поэтому в степенях такая большая разница, и это изменяет, собственно, описание системы.

В.Н. Да. Совершенно верно, ни один линейный процесс не удовлетворяет этому, не удовлетворяет ему и классическое броуновское движение, которое является кирпичиком для описания многих сложных систем. И для этого нам пришлось придумать новый тип случайных процессов – фрактальное броуновское движение.

Ирина Кожевникова: В 1940-м году академик Андрей Николаевич Колмогоров рассмотрел гауссовские процессы с непрерывными траекториями, нулевым математическим ожиданием, и дисперсией, пропорциональной времени в степени 2. Время больше или равно нулю, а Н изменяется от нуля до единицы. Если мы положим Н равным одной второй, то это получится классический случай, классическое броуновское движение или классический винеровский процесс.

Этими процессами занимались потом очень многие учёные, в частности, среди них Мандельброт и Ван Несс, и именно они присвоили этому процессу название «фрактальное броуновское движение».

Теперь. Приращения фрактального броуновского движения стационарны. Корреляционная функция при Н, большем, чем одна вторая, медленно, степенным образом, как показано на рисунке, убывает. Покажите, пожалуйста, рисунок по теме 1 и рисунок 2. А спектральная плотность имеет при нулевой частоте интегрируемую особенность, и для достаточно широкого диапазона частот тоже степенным образом убывает в зависимости от значения показателя Харста Н.

А.Г. Давайте теперь попробуем перевести на русский язык. Выяснилось, что классическое броуновское движение в том виде, в каком оно описано….

И.К. Это только частный случай данного процесса.

А.Г. И была выведена некая закономерность, которая носит ступенчатый характер, и это описывается уже фрактальным броуновским движением. Верно?

И.К. Да, фрактальным. Но функция не совсем ступенчатая, а имеющая степенной характер.

А.Г. Степенной характер.

И.К. Степенной характер корреляционной функции. Именно степенной, такое медленное затухание. Благодаря такому медленному затуханию спектральная плотность, как функция частоты, при нулевой частоте обращается в бесконечность, то есть имеет интегрируемую особенность. А дальше для некоторого диапазона частот в окрестности нуля убывает степенным образом. А за пределами нуля она уже ведёт себя, соответственно, по-другому.

Теперь я расскажу о траекториях приращений фрактального броуновского движения и траекториях самого фрактального броуновского движения. Траектории фрактального броуновского движения ввиду слабого убывания корреляционной функции могут иметь большие выбросы. А траектория самого фрактального броуновского движения содержит длинные серии положительных и отрицательных отклонений от математического ожидания процесса, что характерно для многих геофизических временных рядов.

Кроме того, фрактальное броуновское движение обладает свойством статистического самоподобия. Это аналогично фракталам, простым фракталам, то есть, если мы смотрим через лупу, орнамент повторяется. Здесь же, происходит то же самое, только с точки зрения распределения вероятности.

Харст в 1951-м году и в последующие годы занимался вычислением оценки придуманным им же самим методом. И он обработал 690 временных рядов, описывающих 75 различных явлений природы. И для приращения уровня различных водоёмов, например, озера Гурон в Канаде и других озёр, для приращения уровня, для стоков и уровней различных рек, для изменения ширины годичных колец деревьев, для температурных рядов, для осадков, он всюду получил показатель Харста…

А.Г. Больше 0,5.

И.К. Больше 0,5. Мы тоже обрабатывали, конечно, меньше, чем 690, но тоже довольно много рядов обрабатывали. Мы обрабатывали приращение колебания уровня, вычисляли оценку показателя Харста современными статистическими методами, другими совершенно.

А.Г. Для каких объектов?

И.К. Для объектов: колебание уровня Каспийского и Мёртвого морей, озёр Балхаш, Чаны, Чад, Большое Солёное озеро, для стоков рек Волги, Днепра, Немана, Дуная и многих других. То же для ширины колец различных деревьев и для температурных рядов, это – глобальная температура Северного полушария, среднегодовые значения температур в Москве и в Петербурге. И тоже всюду получили значение показателя Харста больше 0,5. Кроме того, Харст обрабатывал исторический ряд наблюдения за уровнями Нила. То есть с 622-го года по 1469-й год и современный ему ряд – и всюду получалось Н больше 0,5. В результате, эффект Харста получил такую математическую интерпретацию, что он характеризует случайный процесс с медленным затуханием корреляционной функции.

А.Г. И как следствие…

И.К. И как следствие является, что спектральная плотность имеет интегрируемую особенность при нулевой частоте и отсутствует линейность у модели, описанной фрактальным броуновским движением.

В.Н. Первый вопрос, который возникает: откуда может взяться такая медленная релаксация динамической системы? Потому что, если описывать эту модель с помощью линейной математики, то мы такого эффекта не получим. Мы получим экспоненциальное затухание корреляции. Вопрос: как придумать модель, простейшую хотя бы модель, чтобы в качестве спектральной функции или корреляционной функции мы получили требуемый результат? Ясно, что в чистом виде фрактальное броуновское движение не может быть использовано, потому что оно имеет недифференцируемые траектории. А в физической системе, описываемой законами сохранения, везде стоят производные.

Поэтому можно было только описать свойства, которые имеет фрактальное броуновское движение, это степенное затухание корреляции, неограниченный спектр при нулевой частоте и некоторая зависимость от частоты. Мы рассуждали таким образом. Многие гидрологические явления, например, дождевой паводок на реке, формируются следующим образом. Выпадают осадки, поднимается уровень воды, потом он спадает, потом выпадают ещё осадки, потом уровень спадает.

То есть этот процесс мы можем приблизить к импульсным случайным процессам, у которых время наступления максимума неизвестно и сама амплитуда неизвестна. Но для того чтобы построить такой процесс, мы должны выдвинуть постулаты по этой модели, описывающие, какой она должна быть. Модель должна быть такой. Описываться законом сохранения, то есть импульса баланса тепла и вещества, допускать ясную математическую интерпретацию и показатель Харста (при всём уважении к этому показателю, это всё же не гравитационная постоянная и не скорость света) должен зависеть от физических свойств этой системы. Мы построили такой процесс, как для дождевых паводков, так и для динамики влажности почвы. И получили результаты такого плана. При стохастической аппроксимации выпадения дождей мы предположили, что здесь нет эффекта Харста, и хотели его получить путём нелинейного преобразования выпавших осадков на водосборе. И получили процесс, который характеризует динамику влажности почвы – как модельный процесс. Чтобы на этом процессе увидеть все характерные черты этого явления.

И.К. Мы рассмотрели нелинейную стохастическую модель инфильтрации воды в почве, демонстрирующую эффект Харста. Была принята простая стохастическая модель дождей. За большой промежуток времени число выпадающих дождей является случайной величиной, распределённой по закону Пуассона с известным параметром, равным среднему числу осадков за сутки. Затем предположили, что продолжительность времени между дождями существенно больше продолжительности самого дождя. Тогда слой осадков можно представить в виде импульсного процесса.

На основании принятой модели мы определили амплитуды импульсного процесса из дискретного уравнения для амплитуд, которые являются случайными величинами, и функции формы спада, которые определили из нелинейного дифференциального уравнения для функции форм спада. Пожалуйста, рисунок 4 по теме 1. Мы получили, что функция формы спада является степенной, медленно затухающей функцией времени и детерминированной функцией. А импульсы являются случайными величинами, и плотность их показана на рисунке 4-Б. Причём эта плотность хорошо аппроксимируется степенным распределением вероятности.

Так как функция формы спада есть медленно затухающая степенная функция времени, то отсюда немедленно следует, что корреляционная функция тоже медленно затухает на бесконечности. А это означает, что спектральная плотность такого процесса хорошо аппроксимируется (в достаточно близкой окрестности нуля, для широкого диапазона частот) затухающей степенной функцией частоты. Вот как показано на рисунке 4-В. А сама реализация вот такого процесса показана на рисунке 4-А.

Это всё характеризует приращение фрактального броуновского движения.

А.Г. Простите, на рисунке 4-А по оси абсцисс – что? Я просто не вижу.

И.К. На рисунке 4-А по оси абсцисс – это время. А по оси ординат – амплитуды импульсного процесса. Это куски, сшитые беспорядочным образом, со случайными амплитудами и детерминированными функциями спада. Оказалось, что для такого импульсного процесса можно вычислить теоретически. И показатель Харста зависит в данном случае от водно-физических свойств почвы и испарения. Таким образом, одной из возможных причин эффекта Харста является медленное возвращение нелинейной динамической системы к своему состоянию равновесия.

В.Н. Медленность здесь очень важна, потому что, например, подъём уровня на Ниле составляет примерно 4 месяца, а спад – целых 8 месяцев, что говорит о медленной реакции этой системы. И здесь можно добавить следующее, рисунок, о котором вы спросили, это такая причудливая смесь хаотических и детерминированных сигналов. То есть, когда мы находимся на спаде, мы находимся в детерминированной области. А когда происходят выбросы этого процесса, то есть момент выпадения осадков, тут возникают случайности. А если говорить о других задачах (не только же природными задачами занимались специалисты в области нелинейных динамических систем), то такие задачи, у которых есть подобные регулярные ставки, и характеризуются медленным затуханием корреляционной функции.

Здесь так можно подвести итог этой первой темы нашего обсуждения. Бассейн Нила огромный – 2,8 миллиона квадратных километров. Он представляет собой нестационарную, неравновесную, нелинейную природную систему. Потоки влаги и тепла с Индийского океана постоянно выводят эту систему из равновесия. За счёт процессов диссипации и второго закона термодинамики, закона возрастания энтропии, система всё время стремится к своему состоянию равновесия. Но эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту особенность, на наш взгляд, функционирования бассейна Нила и подметил британский климатолог Харст. Но хочу подчеркнуть, что это не единственный медленный процесс, который может определить этот эффект.

Таких процессов может быть много. В частности, мы рассматривали медленный процесс – это инфильтрация, движение воды в почвы или по поверхности бассейна. Если не очень толстый слой воды, то всё это медленные процессы.

Но есть такие важные процессы как испарения. Они очень медленные. Если, например, на Каспийском море в год испаряется один метр слоя воды, то, например, в наших климатических условиях – полметра в год. Так вот эти процессы исключительно важны для возникновения эффекта Харста, который был нами обнаружен и в колебаниях уровня Каспийского моря.

Почему Каспийское море? Почему важен механизм колебания этого моря? Потому что на основе многих лет изучения оно демонстрировало уникальный характер своего поведения. Например, Марио Сануто ещё в XII веке писал: «Море поднимается каждый год на ладонь и многие хорошие города уничтожены». Изменение физико-географических условий вследствие подъёма уровня Каспийского моря привело к гибели Хазарского каганата и исчезновению хазар, так как экономика страны не выдержала потери двух третей его территории. Гумилёв так драматически описывает гибель хазар: «И удар русов, гузов и печенегов так покончил с самостоятельностью полузатопленной страны».

На пойтингеровской таблице (есть такая римская дорожная карта населённого мира, она датируется пятым веком нашей эры) уровень Каспия показан на 20 метров выше современного. И современные данные, которые приведены на рисунке, показывают характерные резкие изменения уровня Каспийского моря. Возник вопрос: как найти механизм для объяснения этого явления? Предположим, что испарения с поверхности бассейна, которые составляют очень значительную часть водного баланса и бассейна и моря, немонотонно зависят от влагозапасов. А как это может быть? В общем, здесь такой механизм возникает. Теплоёмкость сухих компонентов грунта – единица. Теплоёмкость воды в четыре раза больше. Поэтому при увлажнении бассейн Каспия увеличивает свою теплоёмкость, тратятся большие затраты солнечного тепла на нагрев, испарения уменьшаются, и таким образом мы получаем механизм положительной обратной связи, который обычно дестабилизирует систему. Что будет в окрестности этого механизма – представляет собой расшифровку механизма его колебаний.

У нас получилось, что в окрестности неустойчивого уровня существуют ещё два слабоустойчивых уровня, в результате чего море под воздействием осадков эволюционирует из одного состояние к другому. Расстояние между ними может быть несколько метров, и в этом состоит квазициклический характер его состояния, который и описывают те учёные-путешественники, о которых я говорил. Мы такую модель построили статистически.

И.К. Море стояло около ста лет на довольно высокой отметке – порядка минус двадцати пяти метров (за ноль принят уровень Балтийского моря). Затем оно неожиданно, примерно за 20 лет, перешло к отметке минус 28. Простояло так 40 лет, а потом снова начался неожиданный подъём, который ошеломил всех.

А.Г. Я помню, что были социальные теории – винили большевиков, которые Волгу перекрыли, и поэтому стоки вод в Каспий уменьшились.

И.К. Нет, была взята малая часть. То есть это не могло так существенно изменить состояние.

А.Г. Я понимаю. Теперь оказывается, что не могло.

И.К. Прыжок на два с половиной метра – таким образом объяснить не получится.

Мы описали этот процесс с помощью нелинейной стохастической модели процесса колебания уровня Каспийского моря. Наша модель состоит из детерминированной части и случайной части. Случайная часть – это остаточная последовательность нашей модели, она аппроксимируется, мы её грубо аппроксимировали авторегрессией первого порядка с достаточно высокой корреляцией. И именно она обеспечивает переходы. Оценку параметров этой модели мы провели современными методами математической статистики на основании натурных данных, наблюдений с 1830-го года (ещё со времён Пушкина записывался уровень Каспийского моря) и по наше время.

Характерная особенность решения или реализации является наличие переходов от высокого состояния – минус 25,46, к низкому – минус 28,3, а средним является минус 26,62. То есть море совершает такие переходы примерно один раз в 200 лет. А время перехода гораздо меньше. Это примерно 20, 30, 40 лет. Причём море может иногда подняться до какого-то уровня и потом опуститься снова, то есть не завершить переход. Вот такая возможная реализация была получена методом математического моделирования.

А.Г. Поэтому «псевдоцикличностью» это и называете, что здесь цикл может быть не завершён?

В.Н. Мы называем это квазицикличностью, потому что это случайная величина. Цикл, это как в синусоиде, а это случайная величина, которой не может быть приписано одно значение.

А.Г. Но тут сразу возникает вопрос: насколько вы можете экстраполировать полученные вами значения и, следовательно, имеет ли ваша теория предсказательные функции?

В.Н. Предсказательных функций она, по сути дела, имеет немного. Она может на такие вопросы ответить: почему возникают такие переходы? И если бы у нас было предположение, что такое возможно, я не думаю, чтобы так легко согласились на переброску рек в своё время. Тогда признали, что падение уровня до минус в двадцать девять – это навеки, и поэтому решили: «Перебросим реки и будем увеличивать уровень за счёт перебрасываемой воды 100 лет и потом увидим, как получается положительный эффект». Вот если бы была такая теория, на мой взгляд, то не так бы легко это проходило – переброска рек.

Во-вторых, мы можем, исходя из темы нашей передачи, давать вероятностный прогноз. То есть, мы можем вот так сказать: «Сегодня отметка какая? Какова вероятность приблизиться к отметке минус 25,6, за сколько лет и какова вероятность придти назад в исходное состояние – минус 28,3, и сколько лет длится этот переход?» Вот такова реальность. Потому что вероятность уже не ассоциируется с незнанием. Это принципиальная особенность нашего мира. И я думаю, в ваших предыдущих передачах эта тема уже не раз звучала.

А.Г. Разумеется.

И.К. Наша модель объясняет, почему не сбывались прогнозы, построенные на основе линейных моделей.

Кроме того, аналогичные модели мы построили для других бессточных водоёмов – для Мёртвого моря, для озёр Балхаш, Большое Солёное, Чаны, Чад и так далее. И везде мы получили то же самое. И основным общим, характерным свойством всех этих решений является бимодальность гистограмм. Пожалуйста, покажите рисунок 3 по теме 2. Все эти гистограммы – бимодальные. Сверху Каспийское море, потом озеро Чад, потом Мёртвое море.

Теперь, почему не сбывались эти прогнозы? Потому что линейная модель имеет только один устойчивый уровень состояния. И каждый переход воспринимает как чрезвычайно редкое событие с очень малой вероятностью. Линейные модели использовались, конечно, для обоснования переброски северных рек. И используются, возможно, и сейчас тоже для каких-то целей.

Кроме того, мы рассчитали показатели Харста для приращения уровня Каспийского моря и стока Волги. Сток Волги занимает 80 процентов от стоков всех рек, впадающих в Каспийское море. Мы получили близкие значения. Затем мы рассчитали эти показатели для некоторых объектов бассейна Каспийского моря – температуры воды в Астрахани, в Казани, среднегодовых значений температур. Тоже получили показатель Харста больше, чем одна вторая. То есть это такая система, которая характеризуется нелинейными свойствами.

В.Н. Я хотел сказать, что есть эффект, который родственен эффекту Харста и дополняет его. Это так называемый степенной закон распределения вероятностей. Что это за закон? Вероятности катастрофических наводнений, в которых гибнут люди, убывает с ростом числа жертв этих наводнений, не экспоненциально, а по степенному закону, то есть очень медленно. Говоря другим языком, можно сказать, что вероятности этих наводнений гораздо выше, чем принято считать. Возникает тогда вопрос: как рассчитывать вероятности таких наводнений, как описать физический механизм, который приводит к степенному закону затухания распределения вероятностей, и как построить удобную аналитическую функцию, чтобы можно было бы на основе этой придуманной нами функции правильно подсчитать вероятность этих катастрофических наводнений? Или, по крайней мере, согласовать их с известными данными по степенной статистике, которая широко применяется в американских работах. Но там ничего не говорится о механизме.

Так вот, почему это важно? Важно потому, что в 20-е годы в Нидерландах правительственный комитет по защите от наводнений принял максимальный уровень воды 390 сантиметров. На этот уровень предполагалось рассчитывать защитные сооружения.

А.Г. Это от уровня моря?

В.Н. Нет, на уровне внезапного подъёма воды.

А.Г. Ну, 390 от уровня моря.

В.Н. Такой уровень возможен раз в 10 тысяч лет. Гидротехники не стали ориентироваться на столь редкое событие, взяли отметку 340 сантиметров. Стремление удешевить строительство привело к трагедии голландского урагана, вызвало большие разрушения и самое большое несчастье – погибло около 2000 человек.

Таким образом, правильное определение вероятности этих катастроф нам очень важно. Так вот, мы посмотрели на эту задачу и построили простую модель, заключающуюся в расчёте стока, в который входят осадки, испарения, сток и влагозапасы бассейна. Такая модель описывается стохастическим дифференциальным уравнением. Мы написали уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для этой системы и получили достаточно простое распределение – со степенным затуханием функции распределения вероятности при больших величинах этого стока. А поскольку можно предполагать, что масштабы этого бедствия функционально связаны с расходом воды и уровнем воды, мы стали использовать эту функцию для расчёта катастрофических наводнений на разных реках. Мы начали с Невы. Потому что для неё посчитаны детальные гидродинамические модели, и можно было сравнить эту теорию с гидродинамическими теориями наводнений.

И.К. Мы взяли эту плотность степенного распределения, в простейшем случае она зависит от одного параметра «бета» и обладает следующими свойствами. Во-первых, плотность степенного распределения степенным образом затухает, когда её аргумент стремится к нулю, и тем медленнее, чем меньше параметр «бета». И, кроме того, если «бета» больше, то она достаточно быстро убывает. И, во-вторых, моменты порядка «целая часть параметра „бета“ обращаются в бесконечность для этого степенного распределения. Таким образом, если у нас „бета“ приняло значение между двумя и тремя, то „целая часть параметра бета“ равно двум и степенное распределение не имеет дисперсии. То есть дисперсия обращается в бесконечность. Таким образом, соответствующий случайный процесс должен совершать гигантские выбросы, чтобы набрать такую дисперсию. Действительно, существует такая северная горная река Тура, которая протекает в Эвенкийском Национальном округе, в горах, между реками Енисеем и Леной, и для неё оценка параметра „бета“ равна 2,63. То есть там имеют место гигантские выбросы.

Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въевшееся в плоть и кровь представление о надёжности и риске. Вот мы рассмотрели максимальные уровни для реки Невы. И для того, чтобы исследовать повторяемость наводнений, мы рассмотрели наше степенное распределение и принятое в гидрологии гамма-распределение. Вот крупнейшее наводнение на реке Неве произошло в Петербурге. Его описал Пушкин в поэме «Медный всадник». Он писал, что «вода и больше ничего» – настолько залило Петербург. Уровень воды реки Невы 19 ноября 1824-го года достиг 421 сантиметра. Если использовать гамма-распределение, то такое наводнение повторяется один раз в 22 тысячи лет. То есть оно является чрезвычайно редким и совершенно невероятным.

А если использовать степенное распределение и рассчитать повторяемость, то оно происходит один раз в 667 лет и является, в общем, вполне реальным.

Следующее крупное наводнение произошло 23 сентября 1924-го года. Уровень в реке Неве был 380 сантиметров. С точки зрения гамма-распределения такое наводнение повторяется раз в 2700 лет. А с точки зрения степенного распределения, оно повторяется один раз в 2,5 века и является вполне реальным событием. Получив это, мы сравнили нашу модель с гидродинамическими моделями, которые были разработаны в Петербурге. И вот в таблице видно, что наша модель и гидродинамические модели очень хорошо соответствуют друг другу. А плотности степенного распределения и гамма-распределения хорошо совпадают в средней части и очень сильно различаются в области катастрофических наводнений. Именно этим и объясняется разница в такой повторяемости.

В.Н. Я хотел бы здесь добавить, что гидродинамические модели, которые использовались для расчёта и описания наводнений, неявно, – и явно, конечно, – учитывали нелинейный характер воды движения в Финском заливе. Именно они и дали такой правильный результат – с нашей точки зрения.

Мы рассчитывали натурные данные конечно не только для Невы, но и для других рек. Например, Янцзы. Хорошо известно, что там в 1931-м году произошло крупнейшее наводнение, унёсшее 1,3 миллиона жизней. Что оказалось здесь? Мы рассчитывали наводнение 54-го года, по 31-му году у нас не было данных. Оказалось, везде наблюдается одна и та же картина: невероятное, с точки зрения обычных формул гидрологии, оказывается вероятным с точки зрения степенного закона. То есть, нужен пересмотр всех этих явлений с точки зрения правильного описания статистики редких событий.

Исследовали такую реку – Западная Двина. То же самое. В Витебске в 31-м году было крупнейшее наводнение. Обычные формулы дают – невероятно. Наша формула даёт раз в шесть большую вероятность. Через три года это наводнение повторяется. И в Миссури мы анализировали максимальный расход воды, потом исследовались высокие уровни воды в Амуре. Потом исследовали (правда, тут маловато данных, но, тем не менее, из-за любопытства), например, наводнение на Северном Кавказе прошлым летом, наводнение в Чехии и Германии – исследовались июльские и августовские расходы воды в Эльбе.

Везде наблюдалась та же картина. Вероятность наводнений, вычисленных на основе такого вот экспоненциального семейства, в 6, 7 (и даже больше, если особо выдающиеся наводнения) больше вероятности по гамма-распределению.

Ещё тут важен и такой момент. Каковы результаты степенной статистики? Ирина Аркадьевна уже говорила, что ущерб может приобретать неограниченную дисперсию. Более того, иногда может и математическое ожидание не иметь конечного результата. То есть, возникает вопрос, не могут же на планете существовать бесконечные силы наводнения?

А.Г. Всемирный потоп.

В.Н. Да, да, вроде того. Надо предложить какую-то конструктивную гипотезу. Мы выполнили анализ того стохастического дифференциального уравнения, о котором я говорил, и оказалось, что этот степенной закон, который возникает за счёт нелинейной связи между стоком и влагозапасом, и характеризующийся сильной нелинейной связью, с ослабеванием этой связи начинает постепенно сходить на нет. И в области больших значений исследуемой величины вырождается в гауссовский закон, то есть экспоненциальный. Но в достаточно широкой области он справедлив. А поскольку сейчас мы живём в такую климатическую эпоху, что увлажнённость суши ещё не так велика (примерно 20-40 сантиметров в десятиметровом слое воды – это достаточно мало), то такие гигантские наводнения происходили в прошлом, случаются в настоящем, и ещё будут случаться в будущем. Потому что ограничения на расход воды, на увлажнённость речных бассейнов ещё далеко не достигнуты.

А.Г. Предела ещё они не достигли?

В.Н. Да, поэтому можно показать, и показано, и даже опубликованы математические работы, которые показывают ограничение этого степенного закона. С точки зрения математической физики можно сказать, что этот степенной закон представляет собой промежуточную асимптотику, характерную для многих задачи физики.

Но что касается эффекта Харста, который мы рассмотрели с разных позиций, то в некоторых работах эта расходимость спектральной плотности, медленное затухание корреляции объясняется следующим эффектом – возникновением хаоса в динамических системах. Есть такие работы. Но для того чтобы нам как-то использовать такие работы, мы, изучая природные явления, должны предложить свою теорию динамического хаоса природных явлений. Потому что свойства этого хаоса ещё далеко не изучены и не известны, поэтому и идут такие дебаты по проблемам климата. Мы решили рассмотреть задачу, в которой воды суши участвуют очень активным образом. Какая это задача? Мы написали уравнение теплового баланса земли, то есть Солнце нагревает Землю, часть тепла поглощается, часть излучается, часть уходит в космическое пространство. Написали уравнение водного баланса, уравнение динамики речного стока. Написали уравнение баланса диоксида углерода за счёт выделения его с океанов или с суши. Таким образом, мы получили простую нелинейную систему.

Ведь надо учитывать такие важнейшие климатические параметры, как альбедо – функция увлажнённости. То есть альбедо болот, например, в несколько раз меньше, чем альбедо пустынь. И это хорошо просматривается по спутниковым данным, по которым у пустыни Сахары очень высокое альбедо. Так вот, оказывается, что по мере увлажнения суши тоже возникает положительная обратная связь. Увлажнённость растёт, планета сильнее разогревается, океаны больше испаряют, больше влаги попадает на сушу, влажность снова растёт. Но эта положительная связь известна в климатологии. А вторую положительную связь я уже называл при анализе динамики колебаний уровня Каспийского моря.

Оказалось очень важным, что эта система может быть сведена к системе нелинейных осцилляторов, типа Дюффинга или Ван дер Поля, а тепловой режим планеты здесь фигурирует в качестве вынуждающей силы для этих осцилляторов. Так вот, оказалось, что решение этих уравнений может иметь сложный непредсказуемый характер – хаотический характер, как говорят специалисты в области нелинейной динамики и других нелинейных задач.

Вот на рисунке это хорошо видно. Здесь рассмотрены две траектории по реализации глобальной температуры приземного слоя атмосферы. Мы видим, что на каком-то отрезке времени траектории начали расходиться. То есть по существу мы получили при одних и тех же условиях две реализации. Эта существенная зависимость решения от начальных условий говорит нам как раз о хаосе в этих системах.

Что здесь ещё важно? Мы видим, что возможны резкие колебания. Если в начале мы видели колебания около 16-ти градусов среднегодовой температуры приземного слоя атмосферы, то по мере развития событий получаются колебания уже от 14-ти до 17-ти градусов. Это очень сильные колебания. Здесь возникает такой даже эффект. Мы хорошо знаем эффект десинхронизации генераторов. Например, Гюйгенс в письмах к отцу писал, что наблюдал синхронизацию двух часов, повешенных на стене, разделяющей две комнаты. То есть слабая связующая сила связывала эти часы, и они шли в унисон. Таким образом, и здесь, возможно, присутствуют эффекты синхронизации. Что это значит? Что если все материки начнут работать на увлажнение, планета начнёт разогреваться. То есть будет происходить потепление климата. Если они работают на усушение, планета начинает охлаждаться. То есть ледниковые эпохи возникают.

Причём у нас получилось, что экспериментальная размерность этого аттрактора, вычисленная на основе эксперимента, поставленного климатологами Николисами, совпала с нашей размерностью, которую мы вычислили теоретически. И что здесь важно? Что климат неразрывно связан с гидрологическими процессами на суше. То есть воды суши – такой же полноправный участник климатического спектакля, как океан, атмосфера и криосфера. Это неразрывно связанные между собой компоненты. И вот на рисунке показан «странный аттрактор». Есть такое стационарное состояние этой системы, вернее, его проекция на плоскость в переменных температуры и зависимость производной температуры от времени. Мы видим, что некоторое время температура находится где-то около 16-ти градусов. Если продолжать дальнейшее развитие, то температура может понизиться и до 14-ти градусов. Она здесь показана, но время пребывания системы в этом состоянии оказалось меньше, чем время пребывания в другом состоянии системы.

И здесь хочу подчеркнуть следующее – почему здесь эффект Харста справедлив? Академиком В.В.Козловым показан такой эффект, что у уравнения Дюффинга может быть бесконечное число длиннопериодических решений с любым периодом, то есть, низкочастотных решений. Так вот там, где уравнение Дюффинга имеет такое поведение, как раз возникают эти долгие периодические решения, медленные процессы. И вот спектр, построенный для такой реализации, как раз отражает этот эффект.

И ещё нужно сказать, что изменение климата в нашей модели является естественным, то есть без учёта антропогенного эффекта. Потому что, на мой взгляд, всякие модели должны объяснять прошлое и будущее, а потом на основе их нужно принимать какие-то политические решения – типа Киотского протокола.

А.Г. То есть вероятность потепления или похолодания больше, чем вероятность стабильного развития ситуации в любой…

В.Н. Да. Я хочу здесь добавить очень важный момент, который иногда опускается. Если бы у климата не было никаких причин его изменения, всё было бы случайно. И температура бы стояла около отметки плюс 15, тогда вероятность достижения потепления без полярных шапок была бы ненулевая, такое состояние было в меловом периоде. Состояние мелового периода: тёплые океаны и влажное состояние климата. Но вероятность возникновения тех ледниковых эпох на Земле – тоже ненулевая, значит, причины изменения климата есть. И они пока ещё, может, не познаны, но эти все модели, о которых мы говорили, и в том числе модели Харста, они допускают проверку. То есть можно математически построить более сложные модели – или подтвердить нашу теорию, или опровергнуть. Так, собственно говоря, на наш взгляд и должна развиваться наука.

А.Г. Мне очень нравится, что у вас теория не антропоморфна. Потому что человек всё-таки слишком многое о себе возомнил…